Cho các số thực dương \(x,\;y,\;z\) thỏa mãn: \(xy + yz + xz \ge x + y + z\).Chứng minh rằng: \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 8} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{y^3} + 8} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {{z^3} + 8} }} \ge 1\).A.B.C.D.

nqtkitty158

2 năm trước

Cho các số thực dương \(x,\;y,\;z\) thỏa mãn: \(xy + yz + xz \ge x + y + z\).
Chứng minh rằng: \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 8} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{y^3} + 8} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {{z^3} + 8} }} \ge 1\).
A.
B.
C.
D.

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 14 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

thangbg2k3p

Đáp án đúng:
Giải chi tiết:Chứng minh rằng: \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 8} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{y^3} + 8} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {{z^3} + 8} }} \ge 1\).
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {xy + yz + xz} \right)^2} \ge {\left( {x + y + z} \right)^2} \ge 3\left( {xy + xz + yz} \right)\\ \Rightarrow xy + xz + yz \ge 3.\end{array}\)
Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz ta có :
\(\begin{array}{l}VT \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)} + \sqrt {\left( {y + 2} \right)\left( {{y^2} - 2y + 4} \right)} + \sqrt {\left( {z + 2} \right)\left( {{z^2} - 2z + 4} \right)} }}\\ \Leftrightarrow VT \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{\sqrt {\left( {x + y + z + 6} \right)\left[ {{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {x + y + z} \right) + 12} \right]} }}\\ \Leftrightarrow VT \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{\left( {2xy + 2xz + 2yz + 3} \right)\left[ {{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2(x + y + z) + 12} \right]}}\\ \Leftrightarrow VT \ge \frac{{2{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {x + y + z} \right) + 15 + 2\left( {xy + xz + yz} \right)}}\\ \Leftrightarrow VT\frac{{2{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - 2\left( {x + y + z} \right) + 15}}.\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Ta cần chứng minh :
\(\begin{array}{l}\frac{{2{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - 2\left( {x + y + z} \right) + 15}} \ge 1\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y + z} \right)^2} + 2\left( {x + y + z} \right) - 15 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + y + z + 5} \right)\left( {x + y + z - 3} \right) \ge 0\end{array}\)
Điều này là luôn đúng do : \(x + y + z \ge \sqrt {3\left( {xy + xz + yz} \right)} = 3.\)
Dấu ‘’=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z = 1.\)
Vậy : \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 8} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{y^3} + 8} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {{z^3} + 8} }} \ge 1.\)

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Trình bày nội dung của Hiệp ước Nhâm Tuất (1862)
A.
B.
C.
D.

Trình bày những nét chính về phong trào Cần Vương (1885 – 1896)
A.
B.
C.
D.

Vào cuối thế kỉ XIX đầu thế kỉ XX, thực dân Pháp đã thi hành những chính sách gì về kinh tế ở Việt Nam? Mục đích của các chính sách đó? Tác động của chính sách khai khác thuộc địa đó với kinh tế Việt Nam.
A.
B.
C.
D.

a) Lai kinh tế là gì? Có nên dùng con lai kinh tế để làm giống không? Vì sao?
b) Ở nước ta lai kinh tế được thực hiện dưới hình thức nào, tại sao? Cho ví dụ.
A.
B.
C.
D.

Xác định phong cách ngôn ngữ chính của văn bản trên.
A.
B.
C.
D.

Trung Quốc đã áp dụng các biện pháp, chính sách trong cải cách nông nghiệp như thế nào?
A.
B.
C.
D.

Cho bảng số liệu:
SẢN LƯỢNG CAO SU CỦA CÁC NƯỚC ĐÔNG NAM Á VÀ THẾ GIỚI
(Đơn vị: triệu tấn)
a) Vẽ biểu đồ cột thể hiện sự so sánh sản lượng cao su của các nước Đông Nam Á với thế giới giai đoạn 1985 – 2013.
b) Qua biểu đồ hãy rút ra nhận xét cần thiết.
A.
B.
C.
D.

Nhận xét về nghệ thuật chứng minh của tác giả ở đoạn văn? Những chứng cứ ở đoạn này có giàu sức thuyết phục không? Vì sao? ( 1,5 điểm)
A.
B.
C.
D.

Những yếu tố nào giúp nghĩa quân Bắc Mỹ thắng quân Anh trong cuộc chiến tranh giành độc lập? Vì sao cuộc chiến tranh giành độc lập của các thuộc địa Anh ở Bắc Mĩ có tính chất là một cuộc cách mạng tư sản?
A.
B.
C.
D.

Lập bảng so sánh cuộc cách mạng tư sản Anh cuộc đấu tranh thống nhất nước Đức theo các tiêu chí sau: nhiệm vụ, lãnh đạo, hình thức và kết quả.
A.
B.
C.
D.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến