Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Không mất tính tống quát, giả sử $c=max(a;b;c)$
$⇒2c-a-b \geq 0$
Ta có:
$c^2+ab=c^2+\frac{2abc}{a+b}+\frac{(ab)^2}{(a+b)^2}+ab-\frac{2abc}{a+b}-\frac{(ab)^2}{(a+b)^2}$
$=(c+\frac{ab}{a+b})^2-\frac{(ab)^2}{(a+b)^2}-\frac{ab(2c-a-b)}{a+b} \leq (c+\frac{ab}{a+b})^2$
$⇒\sqrt{c^2+ab} \leq c+\frac{ab}{a+b}=\frac{ab+bc+ca}{a+b}$
Lại có:
$a^2+bc=\frac{a^2+bc}{a+b}.(a+b) \leq \frac{1}{4}(\frac{a^2+bc}{a+b}+a+b)^2$
$⇔\sqrt{a^2+bc} \leq \frac{1}{2}(\frac{a^2+bc}{a+b}+a+b)=\frac{2a^2+2ab+b^2+bc}{2(a+b)}$
Tương tự:
$\sqrt{b^2+ca} \leq \frac{1}{2}(\frac{b^2+ca}{a+b}+a+b)=\frac{a^2+2ab+2b^2+ca}{2(a+b)}$
Cộng vế với vế:
$P \leq \frac{3a^2+3b^2+3c^2+6ab+3ac+3bc}{2(a+b)}=\frac{3(a+b)(a+b+c)}{2(a+b)}=\frac{3(a+b+c)}{2} \leq 3$
$P_{max}=3$ khi $(a;b;c)=(0;1;1)$ và hoán vị
