Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x2 + y2 + (3x − 2)(y −1) = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + y2 + x+ y+8 A.MaxP = 6+8√2 B.MaxP = 6-8√2 C.MaxP = 5+8√2 D.MaxP = 5- 8√2
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:Ta có giả thiết x2 + y2 + (3x -2)(y-1) = 0 <= > (x+y)2 – 3(x+y) + 2 = -xy – y Vì x, y không âm nên –xy – y ≤ 0. Suy ra (x+y)2 – 3(x+y) + 2 ≤ 0 <= > 1 Đặt t = x+y, khi đó t ∊ [1;2] Ta có P = x2 + y2 + x +y + 8 ≤ (x+y)2 + (x+y) + 8 = t2 + t + 8 Xét hàm số f(t) = t2 + t + 8 với t ∊ [1;2] Ta có f’(t) = 2t +1 - , với mọi t ∊ [1;2] Chú ý rằng f’(t) > 3 - > 0 với mọi t ∊ (1;2) Suy ra f(t) đồng biến trên [1;2]. Do đó maxf(t) = f(2) = 6+8√2 Suy ra P ≤ 6+8√2, dấu đẳng thức xảy ra khi . <= > x=2, y=0 Vậy giá trị lớn nhất của P là 6+8√2, đạt khi x=2, y=0