Ta chứng minh: \({x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + zx\)
Thật vậy,
\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + zx\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} \ge 2xy + 2yz + 2zx\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} - 2yz + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} - 2zx + {x^2}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} \ge 0\end{array}\)
(luôn đúng)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {t^2} = {\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {xy + yz + zx} \right)\\ = 3 + 2\left( {xy + yz + zx} \right) \le 3 + 2.\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\\ = 3 + 2.3 = 9\\ \Rightarrow {t^2} \le 9 \Leftrightarrow t \le 3\left( 1 \right)\end{array}\)
Mà \({t^2} = 3 + 2\left( {xy + yz + zx} \right) \ge 3 + 0 = 3\) do \(x,y,z\) không âm
\( \Rightarrow {t^2} \ge 3 \Leftrightarrow t \ge \sqrt 3 \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\sqrt 3 \le t \le 3\)
