Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y +z =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức P = + + A.Giá trị nhỏ nhất của P bằng -2 B.Giá trị nhỏ nhất của P bằng -1 C.Giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 D.Giá trị nhỏ nhất của P bằng 1
Đáp án đúng: D Giải chi tiết:Ta có 3 – P = + + Với các số không âm x,y ta chỉ ra rằng ≤ (1) Thật vậy, bất đẳng thức (1) tương đương với x3y2 + x2y3 + x2y + xy2 + x + y ≥ 3(xy + x2y2). (2) Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có x3y2 + x2y3 +xy ≥ 3 x2y2 (3) và x2y +y + xy2 +x ≥ 2xy + 2xy =4xy (4) Cộng (3) và (4) ta được (2). Như vậy (1) được chứng minh. Tương tự ta thu được ≤ và ≤ (5) Từ (1) và (5) ta có 3 – P ≤ = 2. Suy ra P ≥ 1. Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z =1. Vậy, giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt khi x =y = z =1.