Đáp án:
\(P=1\)
Giải thích các bước giải:
Sửa đề: Cho các số x, y, z khác 0 thoả mãn đồng thời \(\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac 1z=2\) và \(\dfrac2{xy}-\dfrac1{z^2}=4\). Tính giá trị biểu thức \(P=(x+2y+z)^{2012}\)
Ta có: \(\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac 1z=2\\ ⇒ \left(\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z\right)^2=2^2=4=\dfrac{2}{xy}-\dfrac1{z^2}\)
\(⇒\dfrac1{x^2}+\dfrac1{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+2\left(\dfrac 1{xy}+\dfrac1{yz}+\dfrac1{xz}\right)=\dfrac2{xy}-\dfrac1{z^2}\\ ⇒ \dfrac1{x^2}+\dfrac1{y^2}+\dfrac1{z^2}+\dfrac2{xy}+\dfrac2{yz}+\dfrac2{xz}=\dfrac{2}{xy}-\dfrac1{z^2}\\ ⇒ \dfrac1{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{yz}+\dfrac{2}{xz}+\dfrac1{z^2}=0\\ ⇒\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xz}\right)+\left(\dfrac{1}{y^2}+\dfrac1{z^2}+\dfrac2{yz}\right)=0\\ ⇒ \left(\dfrac1x+\dfrac1z\right)^2+\left(\dfrac1y+\dfrac1z\right)^2=0\)
\(\Rightarrow \begin{cases}\dfrac 1x+\dfrac 1z=0\\ \dfrac1y+\dfrac1z=0\end{cases}\\ \Leftrightarrow x=y=-z\)
Khi đó: \(\dfrac 1x+\dfrac1y+\dfrac 1z=2\) tương đương với \(\dfrac 1x+\dfrac 1x-\dfrac 1x=2\Rightarrow x=\dfrac 12\Rightarrow y=\dfrac 12\Rightarrow 2+2+\dfrac 1z=2\Rightarrow z=-\dfrac12\)
Thay vào P, ta được:
\[P=(x+2y+z)^{2012}=\left(\dfrac 12+2\cdot \dfrac 12-\dfrac 12\right)^{2012}=1\]
Vậy \(P=1\)
