Cho các số \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(0 \le x,\,\,y,\,\,z \le 1\). Chứng minh rằng:\(\frac{x}{{1 + yz}} + \frac{y}{{1 + zx}} + \frac{z}{{1 + xy}} \le 2\)A.B.C.D.

ngongocthienthien

2 năm trước

Cho các số \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(0 \le x,\,\,y,\,\,z \le 1\). Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{{1 + yz}} + \frac{y}{{1 + zx}} + \frac{z}{{1 + xy}} \le 2\)
A.
B.
C.
D.

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 20 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

phamletutrinh3

Đáp án đúng:
Giải chi tiết:Cho các số \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(0 \le x,\,\,y,\,\,z \le 1\). Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{{1 + yz}} + \frac{y}{{1 + zx}} + \frac{z}{{1 + xy}} \le 2\)
Ta chứng minh bổ đề: \(x + y + z \le xyz + 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow xyz - x - y - z + 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow xyz - yz - x + 1 + yz - y - z + 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow yz\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right) + y\left( {z - 1} \right) - \left( {z - 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {yz - 1} \right) + \left( {z - 1} \right)\left( {y - 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right)\left( {1 - yz} \right) + \left( {1 - z} \right)\left( {1 - y} \right) \ge 0\,\,\,\,\forall \,0 \le x,\,\,y,\,\,z \le 1.\end{array}\)
Với mọi \(0 \le x,\,\,y,\,\,z \le 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}VT = \frac{x}{{1 + yz}} + \frac{y}{{1 + zx}} + \frac{z}{{1 + xy}} \le \frac{x}{{1 + xyz}} + \frac{y}{{1 + xyz}} + \frac{z}{{1 + xyz}}\\ \Leftrightarrow VT \le \frac{{x + y + z}}{{1 + xyz}} \le \frac{{2 + xyz}}{{1 + xyz}} = 2.\\ \Leftrightarrow VT \le 2.\end{array}\)
Vậy \(\frac{x}{{1 + yz}} + \frac{y}{{1 + zx}} + \frac{z}{{1 + xy}} < 2.\)

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và \(AB < BC < AC\), kẻ hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H \(\left( {M \in BC,\,\,N \in CA} \right)\).
a) Chứng minh tứ giác CMHN nội tiếp.
b) Chứng minh \(NA.NC = NH.NB\)
c) Đường tròn tâm H bán kính HA cắt các tia AB, AC lần lượt tại E, F \(\left( {E \ne A;\,\,F \ne A} \right)\). Chứng minh tứ giác BHFC nội tiếp.
d) Các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn \(\left( {H;HA} \right)\) cắt nhau tại K. Chứng minh AK đi qua trung điểm của BC.
A.
B.
C.
D.

So sánh đường lối đấu tranh giữa hai phái "Ôn hoà" và "Cấp tiến" trong Đảng Quốc đại Ấn Độ
A.
B.
C.
D.

Em có nhận xét gì về tính chất của Cách mạng 1905 – 1907 ở Nga?
A.
B.
C.
D.

Trình bày nguyên nhân, diễn biến của Cách mạng Tân Hợi.
A.
B.
C.
D.

Vì sao các phong trào đấu tranh của nhân dân Trung Quốc cuối thế kỉ XIX - đầu thế kỉ XX lần lượt thất bại?
A.
B.
C.
D.

Lập bảng niên biểu tóm tắt phong trào đấu tranh của nhân dân Trung Quốc chống đế quốc, phong kiến từ năm 1840 đến năm 1991 theo mẫu sau:
A.
B.
C.
D.

Những điểm nào chứng tỏ Đảng Công nhân xã hội dân chủ Nga là đảng kiểu mới?
A.
B.
C.
D.

Hãy cho biết nguyên nhân bùng nổ cuộc Cách mạng Nga 1905 - 1907
A.
B.
C.
D.

Kể về một người em yêu quý nhất.
A.
B.
C.
D.

Tại sao những người bán rau phải thường xuyên vẩy nước vào rau?
A.
B.
C.
D.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến