Đáp án:
\(T= \dfrac{{4\left( {{4^{4038}} - 1} \right)}}{{15}}\)
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}T = u_1^2 + u_2^2 + ... + u_{2019}^2\\ = u_1^2 + {\left( {q{u_1}} \right)^2} + {\left( {{q^2}{u_1}} \right)^2} + ... + {\left( {{q^{2018}}{u_1}} \right)^2}\\ = u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + ... + {q^{4036}}} \right)\end{array}\)
Dãy \(1,{q^2},{q^4},...,{q^{4036}}\) là cấp số nhân có 2019 số hạng, số hạng đầu \(1\) và công bội \({q^2}\)
\( \Rightarrow 1 + {q^2} + {q^4} + ... + {q^{4036}} = \dfrac{{1.\left[ {1 - {{\left( {{q^2}} \right)}^{2019}}} \right]}}{{1 - {q^2}}} = \dfrac{{1 - {q^{4038}}}}{{1 - {q^2}}}\)
\(\begin{array}{l}{u_3} + 8{u_2} - 15{u_1} = {u_1}{q^2} + 8{u_1}q - 15{u_1}\\ = 2{q^2} + 16{u_1} - 30 = 2\left( {{q^2} + 8q + 16} \right) - 62\\ = 2{\left( {q + 4} \right)^2} - 62 \ge - 62\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(q = - 4\).
Do đó \(T = u_1^2.\dfrac{{1 - {q^{4038}}}}{{1 - {q^2}}} = 4.\dfrac{{1 - {{\left( { - 4} \right)}^{4038}}}}{{1 - {{\left( { - 4} \right)}^2}}} = \dfrac{{4\left( {{4^{4038}} - 1} \right)}}{{15}}\)
