Ta có
$(C_m): x^2 + y^2 - (m-6)x - 2(m-1)y + m + 10 = 0$
$\Leftrightarrow (C_m): \left( x - \dfrac{m-6}{2} \right)^2 + (y - m + 1)^2 - \dfrac{(m-6)^2}{4} - (m-1)^2 + m + 10 = 0$
$\Leftrightarrow (C_m): \left( x - \dfrac{m-6}{2} \right)^2 + (y - m + 1)^2 = \dfrac{(m-6)^2}{4} + (m-1)^2 - m - 10$
$\Leftrightarrow (C_m): \left( x - \dfrac{m-6}{2} \right)^2 + ([y - (m - 1)]^2 = \dfrac{(m-6)^2}{4} + (m-1)^2 - m - 10$
Để $(C_m)$ là một phương trình đường tròn thì ta phải có
$\dfrac{(m-6)^2}{4} + (m-1)^2 - m - 10 > 0$
$<-> (m-6)^2 + 4(m-1)^2 - 4m - 40 > 0$
$<-> 5m^2 -24m > 0$
$<-> m(5m - 24) > 0$
Vậy $0 < m < \dfrac{24}{5}$.
Ta có tâm $I \left( \dfrac{m-6}{2}, m-1 \right)$
Ta thấy rằng
$\begin{cases} x_I = \dfrac{m-6}{2},\\ y_I = m-1 \end{cases}$
Từ ptrinh sau ta suy ra $m = y_I + 1$. Thế vào ptrinh đầu ta có
$2x_I = y_I + 1 - 6$
$<-> 2x_I - y_I + 5 = 0$
Vậy quỹ tích của điểm I là
$d: 2x - y + 5 = 0$.
