Đáp án: $m = \dfrac{6}{5}$
Giải thích các bước giải:
Gọi điểm cố định mà (d) luôn đi qua là A
$\begin{array}{l}
A\left( {x;y} \right)\\
\Leftrightarrow 2\left( {m - 1} \right).x + \left( {m - 2} \right).y = 2\forall m\\
\Leftrightarrow 2mx - 2x + my - 2y = 2\forall m\\
\Leftrightarrow \left( {2x + y} \right).m = 2x + 2y + 2\forall m\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + y = 0\\
2x + 2y + 2 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + y = 0\\
2x + 2y = - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - 2\\
x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow A\left( {1; - 2} \right)
\end{array}$
Gọi OH là khoảng cách từ O đến đường thẳng d
Trong tam giác OHA vuông tại H ta luôn có:
$\begin{array}{l}
OH \le OA\\
\Leftrightarrow GTLN:OH = OA\,khi:H \equiv A\\
hay\,OA \bot \left( d \right)\\
Goi:OA:y = a.x\\
Do:A\left( {1; - 2} \right)\\
\Leftrightarrow - 2 = a.1\\
\Leftrightarrow a = - 2\\
\Leftrightarrow OA:y = - 2x\\
Do:\left( d \right):2\left( {m - 1} \right).x + \left( {m - 2} \right).y = 2\\
\Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 2\left( {m - 1} \right)}}{{m - 2}}.x + \dfrac{2}{{m - 2}}\\
\Leftrightarrow a.\dfrac{{ - 2\left( {m - 1} \right)}}{{m - 2}} = - 1\\
\Leftrightarrow \left( { - 2} \right).\dfrac{{ - 2\left( {m - 1} \right)}}{{m - 2}} = - 1\\
\Leftrightarrow - 4\left( {m - 1} \right) = m - 2\\
\Leftrightarrow - 4m + 4 = m - 2\\
\Leftrightarrow 5m = 6\\
\Leftrightarrow m = \dfrac{6}{5}\left( {tmdk} \right)\\
Vậy\,m = \dfrac{6}{5}
\end{array}$
