Lời giải:
a) Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:
$AB^2 = HB.BC \Rightarrow HB = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{6^2}{10} = \dfrac{18}{5}\ cm$
$\Rightarrow HC = BC - HB = 10 - \dfrac{18}{5} = \dfrac{32}{5} \ cm$
$AH^2 = HB.HC \Rightarrow AH = \sqrt{HB.HC} =\sqrt{\dfrac{18}{5}\cdot \dfrac{32}{5}} = \dfrac{24}{5}\ cm$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle AHB$ vuông tại $H$ đường cao $HD$ ta được:
$AH^2 = AD.AB \Rightarrow AD = \dfrac{AH^2}{AB}$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle AHC$ vuông tại $H$ đường cao $HE$ ta được:
$AH^2 = AE.AC \Rightarrow AE = \dfrac{AH^2}{AC}$
Do đó:
$\dfrac{AD}{AE} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{\sqrt{BC^2 - AB^2}}{AB} = \dfrac{\sqrt{10^2 - 6^2}}{6} = \dfrac43$
b) Dễ dàng chứng minh được $ADHE$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow AH = DE$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:
$AH^2 = HB.HC = \dfrac{AB^2}{BC}\cdot \dfrac{AC^2}{BC}$
$\Rightarrow AH = \dfrac{AB.AC}{BC} = BC\cdot \dfrac{AB}{BC}\cdot \dfrac{AC}{BC} = BC.\cos B.\sin B$
Vậy $DE = BC.\cos B.\sin B$
