$a)$
Xét $\Delta ABC$ và $ \Delta HAC$ ta có
$ \widehat{BAC} = \widehat{AHC}$
$ \widehat{HCA}$ chung
$\to \Delta ABC \sim \Delta HAC$
$b)$
Áp dụng định lí Pitago ta có
$ AB^2 + AC^2 = BC^2$
$\to BC^2 = 6^2 +8^2 = 100$
$\to BC = 10\ cm$
Vì $BD$ là phân giác nên ta có tỉ lệ
$ \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{CD}$
$\to \dfrac{AB}{BD} = \dfrac{AC}{CD}$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
$ \dfrac{AB}{BD} = \dfrac{AC}{CD} = \dfrac{AB+AC}{BD+CD} = \dfrac{AB+AC}{BC} $
$ = \dfrac{6+8}{10} = 1,4$
$\to \dfrac{6}{BD} = 1,4$
$\to BD = 6 : 1,4 = \dfrac{30}{7} \ cm$