`a)`

Xét tứ giác `ADHE` có:

`hat{AEH}=hat{EAH}=hat{ADH}=90^o`

`⇒` tứ giác `ADHE` là hình chữ nhật `(` tứ giác có `3` góc vuông là hình chữ nhật `)(đpcm)`

`b)`

Xét `ΔAMH` có:

`AD` là đường cao của `ΔAMH`

`AD` là đường trung tuyến của `ΔAMH`

`⇒ΔAMH` cân tại `A`

Vì `ΔAMH` cân tại `A` có `AD` là đường cao,đường trung tuyến

`⇒AD` đồng thời là đường phân giác của `ΔAMH`

`⇒hat{A_1}=hat{A_2}`

Xét `ΔANH` có:

`AE` là đường cao của `ΔANH`

`AE` là đường trung tuyến của `ΔANH`

`⇒ΔANH` cân tại `A`

Vì `ΔANH` cân tại `A` có `AE` là đường cao,đường trung tuyến

`⇒AE` đồng thời là đường phân giác của `ΔANH`

`⇒hat{A_3}=hat{A_4}`

Ta có:`hat{MAN}=hat{A_1}+hat{A_2}+hat{A_3}+hat{A_4}`

                           `=hat{A_2}+hat{A_2}+hat{A_3}+hat{A_3}`

                           `=2hat{A_2}+2hat{A_3}`

                           `=2(hat{A_2}+hat{A_3})`

                           `=2.90^o`

                           `=180^o`

`⇒M,A,N` thẳng hàng `(đpcm)`

`c)`

Gọi `O` là giao điểm của `AH` và `DE`

Vì `ADHE` là hình chữ nhật

`⇒OD=OH=OE(` tính chất hình chữ nhật `)`

Xét `2Δ` vuông `ODI` và `OHI` có:

           `OD=OH(cmt)`

           `OI:chung`

`⇒ΔODI=ΔOHI(` cạnh huyền-cạnh góc vuông `)`

`⇒DI=HI(2` cạnh tương ứng `)(1)`

`⇒ΔDIH` cân tại `I`

`⇒hat{D_1}=hat{H_1}(` tính chất `Δ` cân `)`

Mà `hat{B}+hat{H_1}=90^o(2` góc phụ nhau `)`

      `hat{D_1}+hat{D_2}=90^o(g``t)`

`⇒hat{B}=hat{D_2}`

`⇒ΔBDI` cân tại `I`

`⇒BI=DI(` tính chất `Δ` cân `)(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒BI=HI`

Mà `BI+HI=BH`

`⇒BI=HI=(BH)/2`

Xét `2Δ` vuông `OHK` và `OEK` có:

         `OH=OE(cmt)`

         `OK:chung`

`⇒ΔOHK=ΔOEK(` cạnh huyền-cạnh góc vuông `)`

`⇒HK=EK(2` cạnh tương ứng `)(3)`

`⇒ΔHKE` cân tại `K`

`⇒hat{H_2}=hat{E_1}(` tính chất `Δ` cân `)`

Mà `hat{H_2}+hat{C}=90^o(2` góc phụ nhau `)`

      `hat{E_1}+hat{E_2}=90^o(g``t)`

`⇒hat{E_2}=hat{C}`

`⇒ΔCEK` cân tại `K`

`⇒EK=CK(` tính chất `Δ` cân `)(4)`

Từ `(3)` và `(4)⇒HK=CK`

Mà `HK+CK=HC`

`⇒HK=CK=(HC)/2`

Ta có:`IK=HI+HK=(BH)/2+(HC)/2=(BH+HC)/2=(BC)/2(đpcm)`