Giải thích các bước giải:
Ta có $f(0)\in Z$
$\to a\cdot 0^2+b\cdot 0+c\in Z$
$\to c\in Z$
Ta có $f(1), f(-1), f(\dfrac12)\in Z$
$\to \begin{cases} a\cdot1^2+b\cdot 1+c\in Z\\a\cdot(-1)^2+b\cdot (-1)+c\in Z\\a\cdot(\dfrac12)^2+b\cdot (\dfrac12)+c\in Z\end{cases}$
$\to \begin{cases} a+b+c\in Z\\ a-b+c\in Z\\ \dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{2}+c\in Z\end{cases}$
Vì $c\in Z$
$\to \begin{cases} a+b\in Z\\ a-b\in Z\\ \dfrac{a+2b}{4}\in Z\end{cases}$
$\to \begin{cases} (a+b)+(a-b)\in Z\\ (a+b)-(a-b)\in Z\\ \dfrac{a+2b}{4}\in Z\end{cases}$
$\to \begin{cases} 2a\in Z\\ 2b\in Z\\ \dfrac{a+2b}{4}\in Z\end{cases}$
$\to \begin{cases} 2a=x, x\in Z\\ 2b=y, y\in Z\\ \dfrac{a+2b}{4}\in Z\end{cases}$
$\to \begin{cases} a=\dfrac{x}2, x\in Z\\ b=\dfrac{y}2, y\in Z\\ \dfrac{\dfrac{x}2+2\cdot \dfrac{y}2}{4}\in Z\end{cases}$
Vì $ \dfrac{\dfrac{x}2+2\cdot \dfrac{y}2}{4}\in Z$
$\to \dfrac{x+2y}{8}\in Z$
$\to x+2y\quad\vdots\quad 8$ vì $x, y\in Z$
$\to x+2y$ chẵn
Mà $2y$ chẵn
$\to x$ chẵn
$\to \dfrac{x}2\in Z$
$\to a\in Z$
Do $a+b\in Z$
$\to b\in Z$
$\to a, b, c\in Z$
$\to đpcm$
