Giả sử đồng thời xảy ra trường hợp f(7)=73 và f(3)=58
Ta có: f(7)=a.7³+2b.7²+3.7.c+4d=343a+98b+21c+4d=73
⇒ 343a+21c=73-4d-98b
Do a,b,c,d∈Z ⇒ Vế phải là 1 số lẻ
⇒ 343a+21c là 1 số lẻ ⇒ Chỉ tồn tại 1 số chẵn
Thật vậy, ngược lại, nếu có 2 số chẵn(hoặc lẻ) thì 343a+21c chẵn, vô lý
Giả sử a chẵn ⇒ c lẻ
Lại có: f(3)=a.3³+2b.3²+3.3.c+4d=27a+18b+9c+4d=58
⇒ 1971a+1314b+657c+292d=4234 (*)
Do a chẵn ⇒ 1971a chẵn
b,d∈Z ⇒ 1314b; 292d chẵn
c lẻ ⇒ 657c lẻ
Từ 3 điều trên ⇒ Vế trái của (*) là số lẻ
Mà 4234 chẵn ⇒ 1971a+1314b+657c+292d=4234 (vô lý)
Vậy điều giả sử ban đầu là sai hay ta có đpcm.
