a) Ta có: ΔABC vuông tại A (gt) ⇒ ∠BAE = 90 độ

              EH ⊥ BC (gt) ⇒ ∠EHB = 90 độ

   Xét ΔABE và ΔHBE có:

∠BAE = ∠EHB (=90 độ)

∠ABE = ∠HBE (BE là phân giác của ∠B)

BE cạnh chung

nên ΔABE = ΔHBE (ch-gn)

b) Gọi giao điểm của BE và AH là I

  Vì ΔABE = ΔHBE (cmt)

⇒ AB = HB (cạnh t/ứ)

  Xét ΔABI và ΔHBI có:

AB = HB (cmt)

∠ABE = HBE (cmt)

BI cạnh chung

nên ΔABI = ΔHBI (c.g.c)

⇒ ∠AIB = ∠HIB (góc t/ứ)

mà ∠AIB + ∠HIB = 180 độ (kề bù)

nên ∠AIB = ∠HIB = 90 độ

⇒ AH ⊥ BE (1)

  Vì ΔABI = ΔHBI (cmt)

⇒ AI = AH (cạnh t/ứ)

⇒ I là trung điểm của AH (2)

  Từ (1) và (2) ⇒ BI là trung trực của AH

hay BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.

c) Ta có: ΔABC vuông tại A (gt) ⇒ CA ⊥ BE ⇒ ∠EAK = 90 độ

              EH ⊥ BC (gt) ⇒ ∠EHC = 90 độ

  Vì ΔABE = ΔHBE (cmt) ⇒ EA = EH (cạnh t/ứ)

  Xét ΔAEK và ΔHEK có:

EA = EH (cmt)

∠EAK = ∠EHC (=90 độ)

∠KEA = ∠CEH (đối đỉnh)

nên ΔAEK = ΔHEK (g.c.g)

⇒ EK = EC (cạnh t/ứ)

d) Vì ∠EAK = 90 độ (cmt)

⇒ ΔAEK vuông tại A

⇒ ∠KAE > ∠AKE (t/c)

Xét ΔAKE có: ∠KAE > ∠AKE (cmt)

⇒ EK > AE (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

hay AE < EK

mà EK = EC (cmt) nên AE < EC

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a)∆ABE = ∆HBE

Xét hai tam giác vuông ∆ABE và ∆HBE, ta có:

ˆB1=ˆB2B1^=B2^ (do BE là phân giác của góc B)

BE : cạnh huyền chung

Vậy ∆ABE = ∆HBE  (g.c.g)

1. b) Chứng minh BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.

Vì ∆ABE = ∆HBE

=>BA = BH, EA = EH

=>E, B cùng thuộc trung trực của AH nên đường thẳng EB là trung trực của AH.

1. c) EK = EC.

Xét 2 tam giác ∆AEK và ∆HEC , ta có: ˆH=ˆA=900H^=A^=900

EA = EH (chứng minh trên)

ˆE2=ˆE1E2^=E1^ (đối đỉnh)

Vậy ∆AEK = ∆HEC => EK = EC (đpcm)

Trong tam giác vuông AEK ta có:

AE < EK (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông)

Mà EC = EK. Suy ra EC < EK (đpcm)