`a)` $BD$ là phân giác `\hat{ABC}` (gt)
`=>\hat{ABD}=1/ 2 \hat{ABC}`
$\quad CE$ là phân giác `\hat{ACB}` (gt)
`=>\hat{ACE}=1/ 2 \hat{ACB}`
Mà `\hat{ABC}=\hat{ACB}` (do $∆ABC$ cân tại $A$)
`=>\hat{ABD}=\hat{ACE}`
$\\$
Xét $∆ABD$ và $∆ACE$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad AB=AC` (do $∆ABC$ cân tại $A$)
`\qquad \hat{ABD}=\hat{ACE}` (c/m trên)
`=>∆ABD=∆ACE` (g-c-g)
`=>AD=AE` (hai cạnh tương ứng)
$\\$
`b)` $BD$ là phân giác `\hat{ABC}`
`=>\hat{CBD}=1/ 2 \hat{ABC}`
$\quad CE$ là phân giác `\hat{ACB}`
`=>\hat{BCE}=1/ 2 \hat{ACB}`
Mà `\hat{ABC}=\hat{ACB}` (do $∆ABC$ cân tại $A$)
`=>\hat{CBD}=\hat{BCE}`
`=>\hat{CBI}=\hat{BCI}`
`=>∆IBC` cân tại $I$
`=>IB=IC`
$\\$
Ta có: $BD=CE$ (do $∆ABD=∆ACE$)
`=>IB+ID=IC+IE`
`=>ID=IE` (do $IB=IC$)
`=>∆IED` cân tại $I$
$\\$
`c)` Vì $AD=AE$ (câu a)
`=>∆ADE` cân tại $A$
`=>\hat{ADE}=\hat{AED}={180°-\hat{DAE}}/2={180°-\hat{BAC}}/2`
$\\$
$\quad ∆ABC$ cân tại $A$
`=>\hat{ABC}=\hat{ACB}={180°-\hat{BAC}}/2`
`=>\hat{AED}=\hat{ABC}`
Mà `\hat{AED};\hat{ABC}` ở vị trí đồng vị
`=>ED`//$BC$
$\\$
`d)` $BD$//$MC$ (gt)
`=>\hat{CBD}=\hat{BCM}` (hai góc so le trong)
$\quad CE$//$MB$ (gt)
`=>\hat{BCE}=\hat{CBM}` (hai góc so le trong)
Mà `\hat{CBD}=\hat{BCE}` (đã c/m)
`=>\hat{BCM}=\hat{CBM}`
`=>∆MBC` cân tại $M$
`=>MB=MC`
$\\$
Xét $∆ABM$ và $∆ACM$ có:
`\qquad AM` là cạnh chung
`\qquad AB=AC` ($∆ABC$ cân tại $A$)
`\qquad MB=MC` (c/m trên)
`=>∆ABM=∆ACM` (c-c-c)
`=>\hat{BAM}=\hat{CAM}` (hai góc tương ứng)
Mà tia `AM` nằm giữa hai tia $AB;AC$
`=>AM` là tia phân giác của `\hat{BAC}` $(1)$
$\\$
Xét $∆ABI$ và $∆ACI$ có:
`\qquad AI` là cạnh chung
`\qquad AB=AC`
`\qquad IB=IC` (do $∆IBC$ cân tại $I$)
`=>∆ABI=∆ACI` (c-c-c)
`=>\hat{BAI}=\hat{CAI}` (hai góc tương ứng)
Mà tia `AI` nằm giữa hai tia $AB;AC$
`=>AI` là tia phân giác của `\hat{BAC}` $(2)$
Từ `(1);(2)=>A;I;M` cùng thuộc tia phân giác của `\hat{BAC}`
`=>A;I;M` thẳng hàng
