Lời giải:
a) Xét $\triangle AHB$ và $\triangle AHC$ có:
$\begin{cases}\widehat{AHB} = \widehat{AHC} = 90^\circ\\AB = AC\quad (gt)\\AH:\ \text{cạnh chung}\end{cases}$
Do đó: $\triangle AHB=\triangle AHC$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
b) Xét $\triangle EHD$ và $\triangle ECD$ có:
$\begin{cases}\widehat{EDH} = \widehat{EDC}=90^\circ\\DH= DC \quad (gt)\\ED:\ \text{cạnh chung}\end{cases}$
Do đó: $\triangle EHD=\triangle ECD$ (hai cạnh góc vuông)
$\Rightarrow EH = EC$ (hai cạnh tương ứng)
Xét $\triangle EHC$ có:
$EH = EC\quad (cmt)$
Do đó: $\triangle EHC$ cân tại $E$
c) Ta có:
$\triangle EHD=\triangle ECD$ (câu b)
$\Rightarrow \widehat{ECD} = \widehat{EHC}$ (hai góc tương ứng)
hay $\widehat{ACH} = \widehat{EHC}\qquad (1)$
Ta lại có:
$\widehat{HAC} + \widehat{ACH} = 90^\circ\qquad (2)$
$\widehat{EHA} + \widehat{EHC} = \widehat{AHC} = 90^\circ\quad (3)$
Từ $(1)(2)(3)\Rightarrow \widehat{HAC} = \widehat{EHA}$
hay $\widehat{HAE} = \widehat{EHA}$
Xét $\triangle EAH$ có:
$\widehat{HAE} = \widehat{EHA}\quad (cmt)$
Do đó: $\triangle EAH$ cân tại $E$
$\Rightarrow EA = EH$
mà $EH = EC$ (câu b)
nên $EA = EC$
$\Rightarrow E$ là trung điểm $AC$
d) Ta có: $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$
$\Rightarrow BG = 2GE$ (tính chất trọng tâm)
Gọi $F$ là điểm đối xứng $G$ qua $E$
$\Rightarrow EG = EF$
$\Rightarrow BF = 4GE$
Xét $\triangle AGE$ và $\triangle CFE$ có:
$\begin{cases}EA = EC\quad \text{(câu c)}\\EG = EF\quad \text{(cách dựng)}\\\widehat{AEG} = \widehat{CEF}\quad \text{(đối đỉnh)}\end{cases}$
Do đó: $\triangle AGE = \triangle CFE\ (c.g.c)$
$\Rightarrow AG = CF$ (hai cạnh tương ứng)
Xét $\triangle BCF$ luôn có:
$\quad BC + CF > BF$ (bất đẳng thức trong tam giác)
$\Leftrightarrow BC + AG > 4GE$
