Đáp án:
$AD = \dfrac{15}{2}$
Giải thích các bước giải:
Ta có: $\triangle ABC$ cân tại $A$
$AD$ là đường cao
$\Rightarrow AD$ là trung tuyến
$\Rightarrow DB = DC = \dfrac12BC$
Gọi $E$ là giao điểm của $BH$ và $AC$
$\Rightarrow BE\perp AC$
Xét $\triangle AHE$ và $\triangle BHD$ có:
$\begin{cases}\widehat{AHE} = \widehat{BHD}\quad \text{(đối đỉnh)}\\\widehat{E} = \widehat{D} = 90^\circ\end{cases}$
Do đó $\triangle AHE\backsim \triangle BHD\ (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AH}{BH} = \dfrac{HE}{HD} = \dfrac72$
Đặt $HE = 7x;\ HD = 2x\quad (x>0)$
$\Rightarrow \begin{cases}DB = \sqrt{BH^2 - HD^2} = \sqrt{4 - 4x^2}\\BE = BH + HE = 2 + 7x\end{cases}$
Xét $\triangle BHD$ và $\triangle BCE$ có:
$\begin{cases}\widehat{B}:\ \text{góc chung}\\\widehat{D} = \widehat{E} = 90^\circ\end{cases}$
Do đó $\triangle BHD\backsim \triangle BCE\ (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{BH}{BC} = \dfrac{BD}{BE}$
$\Leftrightarrow BH.BE = BC.BD = 2BD^2$
$\Leftrightarrow 2(2 + 7x) = 2(4 - 4x^2)$
$\Leftrightarrow 4x^2 + 7x -2= 0$
$\Leftrightarrow (4x -1)(x+2) = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -2\quad (l)\\x = \dfrac14\quad (n)\end{array}\right.$
$\Rightarrow HD = \dfrac12$
$\Rightarrow AD = AH + HD = 7 + \dfrac12 = \dfrac{15}{2}$
Vậy $AD = \dfrac{15}{2}$
