Đáp án:
$BM = \dfrac{{\sqrt {109} }}{2}$; $\cos \left( {BM,AH} \right) = 0,287$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
Áp dụng định lí cosin ta có:
$\begin{array}{l}
AC = \sqrt {B{A^2} + B{C^2} - 2BA.BC.\cos B} \\
= \sqrt {B{A^2} + B{C^2} - 2.\left( {\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} } \right)} \\
= \sqrt {{5^2} + {6^2} - 2.24} \\
= \sqrt {13}
\end{array}$
+) Xét tam giác $ABC;AB = 5;BC = 6;AC = \sqrt {13} $
$\begin{array}{l}
\Rightarrow B{M^2} = \dfrac{{2\left( {A{B^2} + B{C^2}} \right) - A{C^2}}}{4} = \dfrac{{109}}{4}\\
\Rightarrow BM = \dfrac{{\sqrt {109} }}{2}
\end{array}$
+) Do $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} > 0 \Rightarrow \widehat B < {90^0}$ nên ta có hình vẽ như bên dưới.
Gọi giao điểm của $AH$ và $BM$ là $I$
Xét $\Delta BMC;BC = 6;BM = \dfrac{{\sqrt {109} }}{2};MC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{\sqrt {13} }}{2}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \cos \widehat {MBC} = \dfrac{{B{M^2} + B{C^2} - M{C^2}}}{{2BM.BC}} = 0,958\\
\Rightarrow \cos \widehat {IBH} = 0,958
\end{array}$
Xét $\Delta IBH;\widehat {IHB} = {90^0};\cos \widehat {IBH} = 0,958$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \sin \widehat {BIH} = \cos \widehat {IBH} = 0,958\\
\Rightarrow \cos \widehat {BIH} = \sqrt {1 - 0,{{958}^2}} = 0,287\\
\Rightarrow \cos \left( {BM,AH} \right) = 0,287
\end{array}$
Vậy $BM = \dfrac{{\sqrt {109} }}{2}$; $\cos \left( {BM,AH} \right) = 0,287$
