Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Xét $ΔABE$ có $AB⊥AE$
$⇒\widehat{ABC}+\widehat{CAE}=90° (1)$
Xét $ΔADC$ có $AD⊥AC$
$⇒\widehat{DAB}+\widehat{ABC}=90° (2)$
Từ $(1)$ và $(2) ⇒\widehat{CAE}=\widehat{DAB}$
Xét $2$ tam giác : $ΔADB$ và $ΔACE$ có :
$+)AB=AE$ (Giả thiết)
$+)\widehat{DAB}=\widehat{CAE}$ (Chứng minh trên)
$+)AD=AC$ (Giả thiết)
$⇒ΔADB=ΔACE (c.g.c)$
b) $AM$ là trung tuyến của $ΔABC$
$⇒BM=CM$
Xét $2$ tam giác : $ΔABM$ và $NCM$ có :
$+)BM=CM$ (Chứng minh trên)
$+)\widehat{AMB}=\widehat{CMN}$ (Hai góc đối đỉnh)
$+)MA=MN$ (Giả thiết)
$⇒ΔABM=ΔNCM (c.g.c)$
$⇒AB=NC$ (Hai cạnh tương ứng)
c) $ΔABM=ΔNCM$
$⇒\widehat{ABM}=\widehat{NCM}$ (Hai góc tương ứng)
Mà $2$ góc ở vị trí so le trong
$⇒AB//NC$
$⇒\widehat{BAC}+\widehat{ACN}=180°$ (Hai góc trong cùng phía)
$⇔\widehat{ACN}=180°-\widehat{BAC} (3)$
Kẻ tia $Ac$ là tia đối của tia $AD$
⇒ Ta có : $Ac ⊥ AC$
$⇔\widehat{cAE}+\widehat{CAE}=90°$
$AB⊥AE ⇒ \widehat{BAC}+\widehat{CAE}=90°
$⇒\widehat{cAE}=\widehat{BAC}$
Ta có : $\widehat{DAE}+\widehat{cAE}=180°$ (Hai góc kề bù)
$⇔\widehat{DAE}=180°-\widehat{cAE}$
$⇔\widehat{DAE}=180°-\widehat{BAC} (4)$ (Vì $\widehat{cAE}=\widehat{BAC}$)
Từ $(3)$ và $(4) ⇒ \widehat{ACN}=\widehat{DAE}$
Xét $2$ tam giác : $ΔADE$ và $ΔCAN$ có :
$+)AD=AC$ (Giả thiết)
$+)\widehat{DAE}=\widehat{ACN}$ (Chứng minh trên)
$+)AE=CN$ (Cùng $=AB$)
$⇒ΔADE=ΔCAN (c.g.c)$
Gọi giao điểm của $DE$ với $AN$ là $O$
$ΔADE=ΔCAN$
$⇒\widehat{ADO}=\widehat{CAO} (*)$ (Hai góc tương ứng)
Mà $\widehat{DAO}+\widehat{CAO}=90° (**) (AD⊥AC)$
Từ $(*)$ và $(**) ⇒ \widehat{ADO}+\widehat{DAO}=90°$
$⇒\widehat{AOD}=90°$
Hay $DE⊥AN$
