a)
$\begin{cases}\widehat{ADI}=\widehat{AMI}\\\widehat{AEK}=\widehat{AMK}\\\widehat{ADI}=\widehat{AEK}\end{cases}\Rightarrow\widehat{AMI}=\widehat{AMK}\Rightarrow MA$ là phân giác $\widehat{IMK}$
b)
Kẻ $AH\bot BC\Rightarrow H$ cố định và $AM\ge AH$
Lấy $F$ đối xứng $H$ qua $AB$$\Rightarrow F$ cố định
Lấy $G$ đối xứng $H$ qua $AC\Rightarrow G$ cố định
$\Rightarrow FG$ là hằng số (const)
Có: $\begin{cases}\begin{cases}\widehat{MAD}=2\widehat{MAB}\\\widehat{MAE}=2\widehat{MAC}\end{cases}\Rightarrow\widehat{DAE}=2\widehat{BAC}\\\\\begin{cases}\widehat{HAF}=2\widehat{HAB}\\\widehat{HAG}=2\widehat{HAC}\end{cases}\Rightarrow\widehat{FAG}=2\widehat{BAC}\end{cases}\Rightarrow\widehat{DAE}=\widehat{FAG}$
Xét $\Delta DAE$ và $\Delta FAG$, ta có:
$\widehat{DAE}=\widehat{FAG}$
$\left( AD=AE \right)\,\,\,\ge \,\,\,\left( AF=AG \right)$
$\Rightarrow DE\ge FG$
$\Rightarrow DE$ nhỏ nhất là bằng $FG$
Dấu “=” xảy ra khi $M\equiv H$
Vậy $AM$ là đường cao của $\Delta ABC$ thì $DE$ nhỏ nhất
