Đáp án:
$a,$
Xét `ΔABC` vuông tại `A` có :
`AB^2 + AC^2 = BC^2` (Pitago)
`->AC^2 = BC^2 - AB^2`
`-> AC^2 = 15^2 - 9^2`
`-> AC^2 = 12^2`
`-> AC = 12cm`
$\\$
Xét `ΔABC` có :
`AB < AC < BC` (Vì `9cm < 12cm < 15cm`)
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`hat{C} < hat{B} < hat{A}`
$\\$
$\\$
$b,$
Xét `ΔABC` và `ΔAEC` có :
`hat{BAC} = hat{EAC} = 90^o`
`AC` chung
`AB = AE` (Vì `A` là trung điểm của `BE`)
`-> ΔABC = ΔAEC` (cạnh - góc - cạnh)
$\\$
`-> BC = EC` (2 cạnh tương ứng)
`-> ΔBEC` cân tại `C`
$\\$
$\\$
$c,$
Xét `ΔBEC` có :
`CA` là đường trung tuyến
`BH` là đường trung tuyến
`CA` cắt `BH` tại `M`
`-> M` là trọng tâm của `ΔBEC`
$\\$
`-> CM = 2/3 AC`
`-> CM = 2/3 . 12`
`-> CM =8cm`
$\\$
$\\$
$d,$
Vì `ΔABC = ΔAEC` (chứng minh trên)
`-> hat{KCM} = hat{HCM}` (2 góc tương ứng)
$\\$
Xét `ΔBAM` và `ΔEAM` có :
`BA = EA` (Vì `A` là trung điểm của `BE`)
`AM` chung
`hat{BAM} = hat{EAM} = 90^o`
`-> ΔBAM = ΔEAM` (cạnh - góc - cạnh)
`-> hat{BMA} = hat{EMA}` (2 góc tương ứng)
$\\$
Ta có : `hat{KMC} = hat{EMA}` (2 góc đối đỉnh)
ta có : `hat{HMC} = hat{BMA}` (2 góc đối đỉnh)
mà `hat{BMA} = hat{EMA}`
`-> hat{KMC} =hat{HMC}`
$\\$
Xét `ΔKCM` và `ΔHCM` có :
`hat{KCM} = hat{HCM}` (chứng minh trên)
`hat{KMC} = hat{HMC}` (chứng minh trên)
`MC` chung
`-> ΔKCM = ΔHCM` (góc - cạnh - góc)
$\\$
`-> KC = HC` (2 cạnh tương ứng)
mà `HC = 1/2 CE,CE = BC`
`-> KC = 1/2 BC`
hay `K` là trung điểm của `BC`
`-> EK` là đường trung tuyến
`-> EK` đi qua `M`
`-> E,M,K` thẳng hàng
