a)

Xét $\Delta HBA$ và $\Delta ABC$, ta có:

$\widehat{ABC}$ là góc chung

$\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90{}^\circ $

$\to \Delta HBA\backsim\Delta ABC\,\,\,\left( g.g \right)$

b)

Xét $\Delta BAH$ và $\Delta ACH$, ta có:

$\widehat{BHA}=\widehat{AHC}=90{}^\circ $

$\widehat{ABH}=\widehat{CAH}$ ( cùng phụ $\widehat{ACB}$ )

$\to \Delta BAH\backsim\Delta ACH\,\,\,\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{BA}{AC}=\dfrac{BH}{AH}$

$\to \dfrac{\dfrac{1}{2}BD}{AC}=\dfrac{BH}{2AM}$

$\to \dfrac{BD}{AC}=\dfrac{BH}{AM}$

Xét $\Delta BDH$ và $\Delta ACM$, ta có:

$\dfrac{BD}{AC}=\dfrac{BH}{AM}\,\,\,\left( cmt \right)$

$\widehat{DBH}=\widehat{CAM}$ ( cùng phụ $\widehat{ACB}$ )

$\to \Delta BDH\backsim\Delta ACM\,\,\,\left( c.g.c \right)$

$\to \dfrac{HD}{MC}=\dfrac{BD}{AC}$

$\to HD.AC=BD.MC$

c)

Gọi $E$ là giao điểm $MC$ và $HD$

Vì $\Delta BDH\backsim\Delta ACM\,\,\,\left( cmt \right)$

$\to \widehat{BHD}=\widehat{AMC}$ ( hai góc tương ứng )

Mà: $\begin{cases}\widehat{BHD}+\widehat{EHC}=180{}^\circ\\\widehat{AMC}+\widehat{HMC}=180{}^\circ\end{cases}$   ( hai góc kề bù )

Nên: $\widehat{EHC}=\widehat{HMC}$

Mà: $\widehat{EHC}+\widehat{EHM}=90{}^\circ $

$\to \widehat{HMC}+\widehat{EHM}=90{}^\circ $

Hay $\Delta EMH$ vuông tại $E$

$\to EM\bot EH$

$\to MC\bot DH$

a) Xét ΔHBA và ΔABC

   $\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90^o$ (GT)

   $\widehat{B}$ chung

  ⇒ΔHBA$\backsim$ΔABC (g-g)

b) Xét ΔABH và ΔCAH

   $\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90^o$ (GT)

   $\widehat{ABH}=\widehat{CAH}=90^o-\widehat{BAH}$

  ⇒ΔABH$\backsim$ΔCAH (g-g)

  ⇒$\frac{AH}{CH}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BH}{AH}$ 

  ⇒$\frac{AB}{BH}$=$\frac{AC}{AH}$

  ⇒$\frac{2AB}{BH}$=$\frac{AC}{\frac{AH}2}$

  ⇒$\frac{BD}{BH}$=$\frac{AC}{AM}$

  ⇒$\frac{BD}{AC}$=$\frac{BH}{AM}$ 

    Xét ΔBHD và ΔAMC

   $\widehat{DBH}=\widehat{CAM}$ ($=90^o-\widehat{BAH}$)

   $\frac{BD}{AC}$ = $\frac{BH}{AM}$ 

  ⇒ΔBHD$\backsim$ΔAMC (c-g-c)

  ⇒$\frac{HD}{MC}$=$\frac{BD}{AC}$ 

  ⇒HD.AC=BD.MC

c) Gọi MC cắt DH tại K

          AC cắt DH tại I

   Ta có ΔBDH$\backsim$ΔAMC (theo câu b)

  ⇒$\widehat{BDH}=\widehat{ACM}$ (tương ứng)

  mà $\widehat{MIC}=\widehat{AID}$ (đối đỉnh)

        $\widehat{BDH}+\widehat{AID}=90^o$

  ⇒$\widehat{MIC}+\widehat{ACM}=90^o$

    Xét ΔICK

   $\widehat{KIC}+\widehat{ICK}=90^o$

  ⇒$\widehat{IKC}=180^o-(\widehat{KIC}+\widehat{ICK})$

                             =$180^o-90^o=90^o$

  ⇒IK⊥KC ⇒ DM⊥MC

                  $\Huge{\text{VOTE MÌNH 5 SAO}}$

                           $\Huge{\text{VÀ CÁM ƠN NHA}}$

                                   $\Huge{\text{XIN HAY NHẤT}}$