Cho dãy số xác định bởi: $ \left\{ \begin{align} & { u _ 1 }=2 \\ & { u _ n }=5{ u _{n-1}}+6,n\ge 2 \\ \end{align} \right. $ . Số hạng thứ 6 trong dãy số có giá trị là A.$ 2187,5 $. B.$ 10937,5 $. C.$ 10936 $. D.$ 2186 $.
Đáp án đúng: C Ta xét: $ { u _ n }+a=5({ u _{n-1}}+a)\Leftrightarrow { u _ n }=5{ u _{n-1}}+4a $
Kết hợp với đề bài $ \Rightarrow 4a=6\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{2} $
Vậy $ { u _ n }=5{ u _{n-1}}+6\Leftrightarrow { u _ n }+\dfrac{3}{2} =5\left( { u _{n-1}}+\dfrac{3}{2} \right) $
Đặt $ { v _ n }={ u _ n }+\dfrac{3}{2} \Rightarrow { v _ 1 }={ u _ 1 }+\dfrac{3}{2} =\dfrac{7}{2} $ và $ { v _ n }=5{ v _{n-1}} $
Suy ra dãy số $ ({ v _ n }) $ là cấp số nhân có $ { v _ 1 }=\dfrac{7}{2} $ , công bội $ q=5 $
$ \begin{align} & \Rightarrow { v _ n }={ v _ 1 }{ q ^{n-1}}\Rightarrow { v _ n }=\dfrac{7}{2} {{.5}^{n-1}} \\ & \Rightarrow { u _ n }={ v _ n }-\dfrac{3}{2} =\dfrac{7}{2} {{.5}^{n-1}}-\dfrac{3}{2} \\ & \Rightarrow { u _ 6 }=10936. \\ \end{align} $