Cho dãy số \(({{u}_{n}})\)xác định bởi \(\left\{ \begin{align} & u_{1}=1 \\ & {{u}_{n+1}}=\sqrt{{{u}_{n}}\left( {{u}_{n}}+1 \right)\left( {{u}_{n}}+2 \right)\left( {{u}_{n}}+3 \right)+1},\,\,\left( n\ge 1 \right) \end{align} \right.\,\,\). Đặt \({{v}_{n}}=\sum\limits

Ntph

2 năm trước

Cho dãy số \(({{u}_{n}})\)xác định bởi \(\left\{ \begin{align} & u_{1}=1 \\ & {{u}_{n+1}}=\sqrt{{{u}_{n}}\left( {{u}_{n}}+1 \right)\left( {{u}_{n}}+2 \right)\left( {{u}_{n}}+3 \right)+1},\,\,\left( n\ge 1 \right) \end{align} \right.\,\,\). Đặt \({{v}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{{{u}_{i}}+2}}\). Tính \(\lim {{v}_{n}}\)bằng?
A.\(+\infty .\)
B. \(0.\)
C. \(\frac{1}{2}.\)
D.\(1.\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 23 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

maytinhandiepks

Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:\({{u}_{2}}=\sqrt{1.2.3.4+1}=5,\,\,{{u}_{n}}>0,\,\,\forall n=1;2;...\)
Ta có:
\(\begin{align} & {{u}_{n+1}}=\sqrt{{{u}_{n}}\left( {{u}_{n}}+1 \right)\left( {{u}_{n}}+2 \right)\left( {{u}_{n}}+3 \right)+1}=\sqrt{\left( u_{n}^{2}+3{{u}_{n}} \right)\left( u_{n}^{2}+3{{u}_{n}}+2 \right)+1} \\ & =\sqrt{{{\left( u_{n}^{2}+3{{u}_{n}} \right)}^{2}}+2\left( u_{n}^{2}+3{{u}_{n}} \right)+1}=\sqrt{{{\left( u_{n}^{2}+3{{u}_{n}}+1 \right)}^{2}}}=u_{n}^{2}+3{{u}_{n}}+1 \\ & \Rightarrow {{u}_{n+1}}+1=u_{n}^{2}+3{{u}_{n}}+2=\left( {{u}_{n}}+1 \right)\left( {{u}_{n}}+2 \right) \\ & \Rightarrow \frac{1}{{{u}_{n+1}}+1}=\frac{1}{\left( {{u}_{n}}+1 \right)\left( {{u}_{n}}+2 \right)}=\frac{1}{{{u}_{n}}+1}-\frac{1}{{{u}_{n}}+2} \\ & \Rightarrow \frac{1}{{{u}_{n}}+2}=\frac{1}{{{u}_{n}}+1}-\frac{1}{{{u}_{n+1}}+1} \\\end{align}\)
Do đó: \({{v}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{{{u}_{i}}+2}=}\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( \frac{1}{{{u}_{i}}+1}-\frac{1}{{{u}_{i+1}}+1} \right)=\frac{1}{{{u}_{1}}+1}-\frac{1}{{{u}_{n+1}}+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{u}_{n+1}}+1}}\)
Xét hiệu \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=u_{n}^{2}+3{{u}_{n}}+1-{{u}_{n}}={{\left( {{u}_{n}}+1 \right)}^{2}}>0\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\) là dãy tăng.
Giả sử \(\lim {{u}_{n+1}}=\lim {{u}_{n}}=a>0\Rightarrow a={{a}^{2}}+3a+1\Rightarrow {{a}^{2}}+2a+1=0\Leftrightarrow a=-1\,\,\left( ktm \right)\Rightarrow \lim {{u}_{n}}=+\infty \)
\(\Rightarrow \lim {{v}_{n}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{u}_{n+1}}+1}=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}.\)
Chọn C.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Nhận xét đúng nhất về tự do lưu thông ở thị trường chung châu Âu là:
A.Tiền vốn, con người, dịch vụ
B.Con người, hàng hóa, cư trú.
C.Dịch vụ, hàng hóa, tiền vốn, con người.
D.Dịch vụ, tiền vốn, chọn nơi làm việc.

Ở nước ta, mùa đông bớt lạnh khô, mùa hè bớt nóng bức là do
A.Địa hình 85% là đồi núi thấp.
B.Khí hậu chịu ảnh hưởng của biển Đông.
C.Nước ta chịu tác động thường xuyên của Tín phong Bắc bán cầu.
D.Nước ta nằm gần Xích đạo, mưa nhiều.

Cho dãy số \(({{u}_{n}})\)xác định bởi \(\left\{ \begin{align} & u_{1}=\frac{1}{2} \\ & {{u}_{n+1}}=\frac{1}{2-{{u}_{n}}},\,\,\left( n\ge 1 \right) \end{align} \right.\,\,\). Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.Dãy \(({{u}_{n}})\)là dãy giảm tới 1 khi \(n\to +\infty \).
B.Dãy \(({{u}_{n}})\)là dãy tăng tới 1 khi \(n\to +\infty \).
C. Không tồn tại giới hạn của dãy \(({{u}_{n}})\).
D. Cả 3 đáp án trên đều sai.

Chất nào dưới đây không phản ứng với axit axetic
A.Cu(OH)2.
B.K2O.
C.NaHCO3.
D.NaCl.

Cho \({{u}_{n}}=\frac{1-4n}{5n}\). Khi đó \(\lim {{u}_{n}}\)bằng?
A.\(\frac{1}{5}.\)
B.\(-\frac{4}{5}.\)
C. \(\frac{4}{5}.\)
D. \(-\frac{1}{5}.\)

Cho \({{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}-3n}{1-4{{n}^{2}}}\). Khi đó \(\lim {{u}_{n}}\)bằng?
A.\(1.\)
B. \(-\frac{1}{4}.\)
C. \(\frac{4}{5}.\)
D. \(-\frac{3}{4}.\)

Cho \({{u}_{n}}=\frac{{{3}^{n}}+{{5}^{n}}}{{{5}^{n}}}\). Khi đó \(\lim {{u}_{n}}\)bằng?
A. \(0.\)
B.\(1.\)
C. \(\frac{3}{5}.\)
D. \(+\infty .\)

Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng -1?
A. \(\lim \frac{2{{n}^{2}}-3}{-2{{n}^{3}}-4}.\)
B. \(\lim \frac{2{{n}^{2}}-3}{-2{{n}^{2}}-1}.\)
C.\(\lim \frac{2{{n}^{2}}-3}{2{{n}^{2}}+1}.\)
D.\(\lim \frac{2{{n}^{3}}-3}{2{{n}^{2}}-1}.\)

Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng \(+\infty \)?
A. \({{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}-2n}{5n+5{{n}^{2}}}.\)
B. \({{u}_{n}}=\frac{1+{{n}^{2}}}{5n+5}.\)
C.\({{u}_{n}}=\frac{1+2n}{5n+5{{n}^{2}}}.\)
D. \({{u}_{n}}=\frac{1-{{n}^{2}}}{5n+5}.\)

Giới hạn \(\lim \frac{{{\left( 2-5n \right)}^{3}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{2-25{{n}^{5}}}\)bằng?
A.\(-4.\)
B. \(-1.\)
C.\(5.\)
D. \(-\frac{3}{2}.\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến