Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:Đặt \(t=\sqrt{2+\log {{u}_{1}}-2\log {{u}_{10}}}\ge 0\Leftrightarrow \log {{u}_{1}}-2\log {{u}_{10}}={{t}^{2}}-2,\) khi đó giả thiết trở thành:
\({t^2} - 2 + t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 2\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \log {u_1} - 2{\log _{{u_{10}}}} = 1 - 2 = - 1\)
\(\Rightarrow \) \(\log {{u}_{1}}-2\log {{u}_{10}}=-\,1\Leftrightarrow \log {{u}_{1}}+1=2\log {{u}_{10}}\Leftrightarrow \log \left( 10{{u}_{1}} \right)=\log {{\left( {{u}_{10}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow 10{{u}_{1}}={{\left( {{u}_{10}} \right)}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)
Mà \({{u}_{n\,+\,1}}=2{{u}_{n}}\,\,\ge \,\,{{u}_{n}}\) là cấp số nhân với công bội \(q=2\Rightarrow \,\,{{u}_{10}}={{2}^{9}}{{u}_{1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ \ \ \ \ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)
Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \(10{{u}_{1}}={{\left( {{2}^{9}}{{u}_{1}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{2}^{18}}u_{1}^{2}=10{{u}_{1}}\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\frac{10}{{{2}^{18}}}\Rightarrow {{u}_{n}}={{2}^{n\,-\,1}}.\frac{10}{{{2}^{18}}}=\frac{{{2}^{n}}.10}{{{2}^{19}}}.\)
Do đó \({{u}_{n}}>{{5}^{100}}\Leftrightarrow \frac{{{2}^{n}}.10}{{{2}^{19}}}>{{5}^{100}}\Leftrightarrow n>{{\log }_{2}}\left( \frac{{{5}^{100}}{{.2}^{19}}}{10} \right)=-\,{{\log }_{2}}10+100{{\log }_{2}}5+19\,\,\approx \,\,247,87.\)
Vậy giá trị \(n\) nhỏ nhất thỏa mãn là \(n=248.\)
Chọn B.
