Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với$\displaystyle {{u}_{n}}=\sqrt{{{n}^{2}}+an+5}-\sqrt{{{n}^{2}}+1}$, trong đó$a$ là tham số thực. Tìm$a$ để$\lim {{u}_{n}}=-1.$ A. $3.$ B. $2.$ C. $-2.$ D. $-3.$
Đáp án đúng: C $\displaystyle \sqrt{{{n}^{2}}+an+5}-\sqrt{{{n}^{2}}+1}\sim \sqrt{{{n}^{2}}}-\sqrt{{{n}^{2}}}=0\xrightarrow[{}]{}$nhân lượng liên hợp : $\displaystyle \begin{array}{l}-1=\lim {{u}_{n}}=\lim \left( \sqrt{{{n}^{2}}+an+5}-\sqrt{{{n}^{2}}+1} \right)=\lim \frac{an+4}{\sqrt{{{n}^{2}}+an+5}+\sqrt{{{n}^{2}}+1}}\\=\lim \frac{a+\frac{4}{n}}{\sqrt{1+\frac{a}{n}+\frac{5}{{{n}^{2}}}}+\sqrt{1+\frac{1}{{{n}^{2}}}}}=\frac{a}{2}\Leftrightarrow a=-2.\end{array}$ Chọn C. Giải nhanh: $\displaystyle -1\sim \sqrt{{{n}^{2}}+an+5}-\sqrt{{{n}^{2}}+1}=\frac{an+4}{\sqrt{{{n}^{2}}+an+5}+\sqrt{{{n}^{2}}+1}}\sim \frac{an}{\sqrt{{{n}^{2}}}+\sqrt{{{n}^{2}}}}=\frac{a}{2}\Leftrightarrow a=-2.$