Cách cho THCS
Ta kẻ đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác . Ta đặt ${S_{AEF}} = {S_1},{S_{BFD}} = {S_2},{S_{CED}} = {S_3},{S_{ABC}} = S$
Dễ dàng chứng minh $\Delta AEF \sim \Delta ABC,\Delta BFD \sim \Delta BCA,\Delta CDE \sim \Delta CAB$
Áp dụng tỉ số diện tích trong tam giác đồng dạng ta được:
$\begin{array}{l} \cos A = \dfrac{{AE}}{{AB}} = \sqrt {\dfrac{{{S_1}}}{S}} \\ \cos B = \dfrac{{BF}}{{BC}} = \sqrt {\dfrac{{{S_2}}}{S}} \\ \cos C = \dfrac{{CD}}{{AC}} = \sqrt {\dfrac{{{S_3}}}{S}} \end{array}$
$\begin{array}{l} \sqrt {\dfrac{{{S_1}}}{S}} = \sqrt {\dfrac{{AE.AF}}{{ABAC}}} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{AF}}{{AB}} + \dfrac{{AE}}{{AC}}} \right)\left( 1 \right)\\ \sqrt {\dfrac{{{S_2}}}{S}} = \sqrt {\dfrac{{FB.BD}}{{AB.BC}}} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{FB}}{{AB}} + \dfrac{{BD}}{{BC}}} \right)\left( 2 \right)\\ \sqrt {\dfrac{{{S_3}}}{S}} = \sqrt {\dfrac{{CD}}{{BC}}.\dfrac{{CE}}{{AC}}} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{CD}}{{BC}} + \dfrac{{EC}}{{AC}}} \right)\left( 3 \right)\\ \left( 1 \right) + \left( 2 \right) + \left( 3 \right):\\ \Rightarrow \cos A + \cos B + \cos C \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{AF}}{{AB}} + \dfrac{{FB}}{{AB}} + \dfrac{{AE}}{{AC}} + \dfrac{{EC}}{{AC}} + \dfrac{{BD}}{{BC}} + \dfrac{{CD}}{{BC}}} \right)\\ = \dfrac{3}{2}\\ \end{array}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
$\cos A=\cos B=\cos C=\dfrac{1}{2}\Rightarrow A=B=C=60^o$
