Đáp án đúng: B

Phương pháp giải:
Theo đề bài ta có: \(BC \cap Ox = \left\{ B \right\} \Rightarrow B\left( {1;\,\,0} \right).\)
Điểm \(A \in Ox \Rightarrow A\left( {a;\,\,0} \right).\)
Dựa vào các giả thiết bài toán, tìm tọa độ điểm \(A,\,\,C \Rightarrow G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\,\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\,} \right).\)
Giải chi tiết:Theo đề bài ta có: \(BC \cap Ox = \left\{ B \right\} \Rightarrow B\left( {1;\,\,0} \right).\)
Điểm \(A \in Ox \Rightarrow A\left( {a;\,\,0} \right).\)
Lại có \(\Delta ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow AC \bot AB \Rightarrow C\left( {a;\,\,{y_C}} \right).\)
Mà \(C \in BC:\,\,\sqrt 3 x - y - \sqrt 3  = 0 \Rightarrow C\left( {a;\,\,\sqrt 3 a - \sqrt 3 } \right).\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{a + 1 + a}}{3} = \frac{{2a + 1}}{3}\\{y_G} = \frac{{\sqrt 3 a - \sqrt 3 }}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{{2a + 1}}{3};\,\,\frac{{\sqrt 3 a - \sqrt 3 }}{3}} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB = \left| {{x_A} - {x_B}} \right| = \left| {a - 1} \right|\\AC = \left| {{y_A} - {y_C}} \right| = \sqrt 3 \left| {a - 1} \right|\\BC = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_C}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_C}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 3{{\left( {a - 1} \right)}^2}}  = 2\left| {a - 1} \right|.\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{AB + BC + CA}}{2}.r\) với \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{2}\left| {a - 1} \right|.\sqrt 3 \left| {a - 1} \right| = \frac{{\left| {a - 1} \right| + \sqrt 3 \left| {a - 1} \right| + 2\left| {a - 1} \right|}}{2}.2\\ \Leftrightarrow \sqrt 3 {\left( {a - 1} \right)^2} = 2\left( {\sqrt 3  + 3} \right)\left| {a - 1} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt 3 .\left| {a - 1} \right| = 2\left( {\sqrt 3  + 3} \right)\\ \Leftrightarrow \left| {a - 1} \right| = 2\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 1 = 2\sqrt 3  + 2\\a - 1 =  - 2\sqrt 3  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\sqrt 3  + 3\\a =  - 2\sqrt 3  - 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{G_1}\left( {\frac{{7 + 4\sqrt 3 }}{3};\,\,\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\\{G_2}\left( {\frac{{ - 1 - 4\sqrt 3 }}{3};\,\,\frac{{ - 6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Chọn B.