Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,M\) là trung điểm của \(AC.\) Gọi \(D,E\) lần lượt là hình chiếu của A và C xuống đường thẳng \(BM.\) So sánh \(BD + BE\)và \(AB.\) A.\(BD + BE > 2AB\) B.\(BD + BE < 2AB\) C.\(BD + BE = 2AB\) D.\(BD + BE < AB\)
Đáp án đúng: A Phương pháp giải: Áp dụng định lý: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.Giải chi tiết: Vì \(\Delta ABM\) vuông tại \(A\) (gt) nên \(BA < BM\) (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên). Mà \(BM = BD + DM \Rightarrow BA < BD + DM\left( 1 \right)\) . Mặt khác, \(BM = BE - ME \Rightarrow BA < BE - ME\left( 2 \right)\) Cộng hai vế của \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\) ta được: \(2BA < BD + BE + MD - ME\left( 3 \right)\) Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\) (gt) \( \Rightarrow AM = MC\) (tính chất trung điểm) Xét tam giác vuông \(ADM\) và tam giác vuông \(CEM\) có: \(AM = MC\left( {cmt} \right)\) \(\widehat {AMD} = \widehat {EMC}\) (đối đỉnh) \( \Rightarrow \Delta ADM = \Delta CEM\) (cạnh huyền – góc nhọn) \( \Rightarrow MD = ME\left( 4 \right)\) (2 cạnh tương ứng) Từ \(\left( 3 \right)\)và \(\left( 4 \right) \Rightarrow BD + BE > 2AB\) Chọn A.