Giải thích các bước giải:
a.Ta có $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to\widehat{ABO}=\widehat{ACO}(=90^o)$
$\to ABOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$
Ta có $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AO\perp BC$ tại trung điểm $BC\to I$ là trung điểm $BC$
$\to IB=IC=\dfrac12BC$
Mà $AB\perp OB$
$\to IO.IA=IB^2=\dfrac{BC^2}4$
b.Xét $\Delta ABD,\Delta ABE$ có:
Chung $\hat A$
$\widehat{ABD}=\widehat{AEB}$
$\to\Delta ABD\sim\Delta AEB(g.g)$
$\to\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}$
$\to AB^2=AD.AE$
Do $AB=AC\to AD.AE=AB.AC$
Mặt khác $\dfrac{BD}{BE}=\dfrac{AB}{AE}$
Tương tự chứng minh được $\dfrac{CD}{CE}=\dfrac{AC}{AE}$
Do $AB=AC$
$\to \dfrac{BD}{BE}=\dfrac{CD}{CE}$
$\to BD.CE=BE.CD$
c. Ta có $AE//BN, AB$ là tiếp tuyến của $(O)$
$\to\widehat{ABC}=\widehat{BNC}=\widehat{AHC}$
$\to ABHC$ nội tiếp
Mà $ABOC$ nội tiếp
$\to A, B, H, O, C$ cùng thuộc một đường tròn
$\to BOHC$ nội tiếp
d.Ta có $BK$ là đường kính của $(O)\to BE\perp EK, BD\perp DK$
$\to\widehat{BDF}=\widehat{BIF}=90^o$
$\to BDFI$ nội tiếp
Ta có $AD.AE=AI.AO(=AB^2)$
$\to DIOE$ nội tiếp
$\to \widehat{AID}=\widehat{DEO}=\widehat{ODE}=\widehat{OIE}$
$\to\widehat{DIB}=90^o-\widehat{AID}=90^o-\widehat{EIO}=\widehat{BIE}$
$\to IB$ là phân giác $\widehat{DIE}$
$\to \widehat{DIB}=\dfrac12\widehat{DIE}=\dfrac12\widehat{DOE}=\widehat{DCE}$
Lại có $DFIB$ nội tiếp
$\to\widehat{DFB}=\widehat{DIB}=\widehat{DCE}=\widehat{DKE}$
$\to BF//KE$
Mà $BE\perp EK$
$\to BE\perp BF$
