Giải thích các bước giải:
a, ΔOAC cân tại O có AH là đường cao ⇒ AH cũng là đường phân giác ⇒ $\widehat{O1}$ = $\widehat{O2}$
Xét ΔOCB và ΔOAB có:
OB chung; OC = OA; $\widehat{O1}$ = $\widehat{O2}$
⇒ ΔOCB = ΔOAB (c.g.c)
⇒ $\widehat{OCB}$ = $\widehat{OAB}$ = $90^{o}$
⇒ BC ⊥ OC ⇒ BC là tiếp tuyến của (O) (đpcm)
b, ΔOAC cân tại O có AH là đường cao ⇒ AH cũng là đường trung tuyến hay H là trung điểm của AC
Ta có: OH ║ AD và $\frac{CH}{CA}$ = $\frac{CO}{CO + OD}$ = $\frac{CO}{CD}$ = $\frac{1}{2}$
mà C, H, A thẳng hàng ⇒ C, O, D thẳng hàng ⇒ CD là đường kính của (O) (đpcm)
c, ΔACD vuông tại A có AI là đường cao ⇒ $AC^{2}$ = CI.CD
ΔBOC vuông tại C có CH là đường cao ⇒ HO.HB = $CH^{2}$ ⇒ 4.HO.HB = $(2.HC)^{2}$ = $CA^{2}$
Vậy: 4.HO.HB = CI.CD (đpcm)
d, Gọi E = BC ∩ AD
Ta có: $\widehat{BAE}$ + $\widehat{BAC}$ = $90^{o}$;
$\widehat{BEA}$ + $\widehat{BCA}$ = $90^{o}$;
$\widehat{BAC}$ = $\widehat{BCA}$
⇒ $\widehat{BAE}$ = $\widehat{BEA}$ ⇒ ΔBAE cân ở B ⇒ BA = BE.
mà BA = BC (theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ BC = BE
ΔCBD có KI ║ BC (cùng ⊥ với CD) ⇒ $\frac{DK}{DB}$ = $\frac{KI}{BC}$ (1)
Xét ΔBDE có AI ║ CE (cùng ⊥ với CD) ⇒ $\frac{DK}{DB}$ = $\frac{AK}{BE}$ (2)
mà BC = BE (chứng minh trên) (3)
Từ (1), (2), (3) ⇒ KI = AK hay K là trung điểm của AI (đpcm)
