a)
Ta có:
$MA=MB$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
$OA=OB=R$
Nên $OM$ là đường trung trực của $AB$
Do đó $OM\bot AB$ tại $H$
Xét $\Delta ABE$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AE$ là đường kính
Nên $\Delta ABE$ vuông tại $B$
Do đó $AB\bot BE$
Mà $OM\bot AB\left( cmt \right)$
Vậy $BE//OM$
b)
Xét $\Delta ADE$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AE$ là đường kính
Nên $\Delta ADE$ vuông tại $D$
Do đó $AD\bot ME$ tại $D$
Xét $\Delta MAO$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao
Nên $M{{A}^{2}}=MH.MO$ (hệ thức lượng)
Xét $\Delta MAE$ vuông tại $A$ có $AD$ là đường cao
Nên $M{{A}^{2}}=MD.ME$ (hệ thức lượng)
Vậy $MH.MO=MD.ME$
c)
Xét $\Delta OHK$ và $\Delta OFM$, ta có:
$\widehat{MOK}$ chung
$\widehat{OHK}=\widehat{OFM}=90{}^\circ $
Nên $\Delta OHK\sim\Delta OFM\left( g.g \right)$
Do đó $\dfrac{OH}{OF}=\dfrac{OK}{OM}\Rightarrow OH.OM=OF.OK$
Xét $\Delta MAO$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao
Nên $O{{A}^{2}}=OH.OM$ (hệ thức lượng)
Ta có: $\begin{cases}OH.OM=OF.OK\left(cmt\right)\\OA^2=OH.OM\left(cmt\right)\\OA=OD=R\end{cases}$
Nên $O{{D}^{2}}=OF.OK\Rightarrow \dfrac{OD}{OF}=\dfrac{OK}{OD}$
Xét $\Delta ODK$ và $\Delta OFD$, ta có:
$\widehat{DOK}$ là góc chung
$\dfrac{OD}{OF}=\dfrac{OK}{OD}\left( cmt \right)$
Nên $\Delta ODK\sim\Delta OFD\left( c.g.c \right)$
Do đó $\widehat{ODK}=\widehat{OFD}=90{}^\circ $
$\Rightarrow OD\bot DK$
Vậy $KD$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$
