Đáp án:
Giải thích các bước giải:
\[\begin{array}{l}
\left( C \right):y = \frac{{2x + 4}}{{ - x + 1}}\\
d:y = kx - k + 1
\end{array}\]
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là:
\[\begin{array}{l}
\frac{{2x + 4}}{{ - x + 1}} = kx - k + 1\\
\Leftrightarrow 2x + 4 = \left( {kx - k + 1} \right)\left( { - x + 1} \right)\\
\Leftrightarrow 2x + 4 + \left( {kx - k + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 2x + 4 + k{x^2} - kx - kx + k + x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow 2x + 4 + k{x^2} - 2kx + x + k - 1 = 0\\
\Leftrightarrow k{x^2} - \left( {2k - 3} \right)x + k + 3 = 0
\end{array} (1)\]
Để (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt A,B thì pt (1) phải có 2 nghiệm phân biệt x1,x2
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne 0\\
{\left( {2k - 3} \right)^2} - 4k.\left( {k + 3} \right) > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne 0\\
4{k^2} - 12k + 9 - 4{k^2} - 12k > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne 0\\
k < \frac{3}{8}
\end{array} \right.
\end{array}\]
khi đó, áp dụng định lí Vi-et ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{2k - 3}}{k}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{{k + 3}}{k}
\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}
A\left( {{x_1};k{x_1} - k + 1} \right)\\
B\left( {{x_2};k{x_2} - k + 1} \right)\\
\Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {k^2}{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} \\
= \sqrt {\left( {{k^2} + 1} \right)\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}.{x_2}} \right)}
\end{array}\]
Thay Vi-et vào , sau đó rút gọn, cho AB nhỏ nhất để tìm k
