a) Xét $∆AMP$ và $∆EMB$ có:

$AM = ME$

$MP = MB$

$\widehat{AMP} = \widehat{EMB} = 90^o$

Do đó $∆AMP = ∆EMB$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat{APM} = \widehat{EBM}; \, AP = BE$

mà $\widehat{APM} + \widehat{MAP} = 90^o$

nên $\widehat{EBM} + \widehat{MAP} = 90^o$

$\Rightarrow AP\perp BE$

b) Gọi $O, O'$ lần lượt là tâm của $AMEF$ và $BMPQ$

Do $O$ là tâm của $AMEF$

nên $OA = OM = OE = OF$

Xét $∆ANE$ vuông tại $N$ có:

$OA = OE = \dfrac{1}{2}AE$

$\Rightarrow  ON = OE = OA$

$\Rightarrow ON = OF = OM$

$\Rightarrow ∆FMN$ vuông tại $N$

Hay $\widehat{FNM} = 90^o$

Chứng minh tương tự với tâm $O'$ ta được

$\widehat{QNM} = 90^o$

$\Rightarrow \widehat{FNM} + \widehat{QNM} = 180^o$

$\Rightarrow F, N, Q$ thẳng hàng

c) Ta có: $\widehat{FNM} = 90^o$ (câu b)

$\Rightarrow MN\perp FQ$

d) Với $I= AE\cap BP$

Ta có:

$\widehat{IAB} = \widehat{IBA} = 45^o$

$\Rightarrow ∆IAB$ vuông cân tại $I$

e) Xét tứ giác $MO'IO$ có:

$\widehat{I} = \widehat{O'} = \widehat{O} = 90^o$

Do đó $MO'IO$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow \widehat{FMQ} = 90^o$

Áp dụng hệ thức lượng trong $∆FMQ$ vuông tại $M$ đường cao $MN$ ta được:

$\dfrac{1}{MN^2} = \dfrac{1}{MF^2} + \dfrac{1}{MQ^2}$

$\Leftrightarrow MN^2 = \dfrac{MF^2.MQ^2}{MF^2 + MQ^2}$

Ta có:

$MF^2 + MQ^2 \geq 2MF.MQ$

$\Rightarrow \dfrac{MF^2.MQ^2}{MF^2 + MQ^2} \leq \dfrac{MF^2.MQ^2}{2MF.MQ} = \dfrac{MF.MQ}{2} = \dfrac{MF}{\sqrt2}\cdot\dfrac{MQ}{\sqrt2} = AM.BM$

$\Rightarrow MN \leq \sqrt{AM.BM} \leq \sqrt{\dfrac{(AM + BM)^2}{4}} = \dfrac{AM + BM}{2} = \dfrac{AB}{2}$

Vậy $MN$ lớn nhất $\Leftrightarrow MN = \dfrac{AB}{2}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow AM = BM$

$\Leftrightarrow M$ là trung điểm $AB$