a) Ta có: AC \(\perp AB\left(gt\right)\left(1\right)\)

Và \(BD\perp AB\left(gt\right)\left(2\right)\)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow AC\) // BD

Nên tứ giác ABDC là hình thang

Mà O là trung điểm của AB (gt) (3)

Và I là trung điểm của CD (gt) (4)

Từ (3), (4) \(\Rightarrow OI\) là đường trung bình của hình thang ABDC (5)

\(\Rightarrow OI=\dfrac{AC+BD}{2}\) (6)

Mà OI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD của \(\Delta COD\) vuông tại O (7)

\(\Rightarrow OI=\dfrac{CD}{2}\left(8\right)\)

Từ (6), (8) \(\Rightarrow AC+BD=CD\)

b) Từ (5) \(\Rightarrow OI\)// AC

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ACO}=\widehat{IOC}\) (2 góc so le trong) (9)

Ta lại có: IC = ID = \(\dfrac{CD}{2}\)(10)

Từ (8), (10) \(\Rightarrow OI=IC\)

\(\Rightarrow\Delta OIC\) cân tại I

\(\Rightarrow\widehat{IOC}=\widehat{ICO}\) (11)

Từ (9), (11) \(\Rightarrow\widehat{ACO}=\widehat{ICO}\) (12)

\(\Rightarrow\) CO là tia phân giác của \(\widehat{ACD}\)

Tương tự từ (5) \(\Rightarrow\) OI // BD

\(\Rightarrow\widehat{IOD}=\widehat{BDO}\) (2 góc so le trong) (13)

Từ (8), (10) \(\Rightarrow OI=ID\)

\(\Rightarrow\Delta OID\) cân tại I

\(\Rightarrow\widehat{IOD}=\widehat{ODI}\) (14)

Từ (13), (14) \(\Rightarrow\widehat{BDO}=\widehat{ODI}\)

\(\Rightarrow DO\) là tia phân giác của \(\widehat{BDC}\)

c) Xét 2 tam giác vuông CAO và CHO ta có:

CO là cạnh chung (15)

Từ (12), (15) \(\Rightarrow\Delta CAO=\Delta CHO\) (cạnh huyền-góc nhọn) (16)

\(\Rightarrow AO=HO\) (17)

Mà AO = BO =\(\dfrac{AB}{2}\) (gt)

\(\Rightarrow HO=\dfrac{AB}{2}\)

\(\Rightarrow\Delta AHB\) vuông tại H (18)

d) Từ (17) \(\Rightarrow\) \(\Delta AOH\) cân tại O

\(\Rightarrow\widehat{OAH}=\widehat{OHA}\) (19)

Từ (16) \(\Rightarrow\) CA = CH

\(\Rightarrow\Delta ACH\) cân tại C

Mà CO là đường phân giác của \(\widehat{ACD}\)

\(\Rightarrow CO\) cũng là đường cao

\(\Rightarrow CO\perp AH\) (20)

Mà CO \(\perp OD\left(gt\right)\left(21\right)\)

Từ (20), (21) \(\Rightarrow AH\) // OD

\(\Rightarrow\widehat{DOH}=\widehat{OHA}\) (22)

Từ (19), (22) \(\Rightarrow\widehat{OAH}=\widehat{DOH}\) (23)

Mà \(\widehat{DOH}+\widehat{COH}=90^o\)(2 góc phụ nhau)

Và \(\widehat{OCH}+\widehat{COH}=90^o\)(2 góc phụ nhau)

\(\Rightarrow\widehat{DOH}=\widehat{OCH}\) (24)

Từ (23), (24) \(\Rightarrow\widehat{OAH}=\widehat{OCH}\) (25)

Từ (18) \(\Rightarrow\) \(\widehat{AHB}=90^o\)

Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta COD\) ta có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{COD}=90^o\) (26)

Từ (25), (26) \(\Rightarrow\Delta AHB\sim\Delta COD\left(G-G\right)\)