`a)` Gọi $C$ là giao điểm của $EM$ và $DA$
Xét $∆MAC$ và $∆MBE$ có:
`\qquad \hat{MAC}=\hat{MBE}=90°`
`\qquad MA=MB` (do $M$ là trung điểm $AB$)
`\qquad \hat{AMC}=\hat{BME}` (hai góc đối đỉnh)
`=>∆MAC=∆MBE` (g-c-g)
`=>AC=BE` (hai cạnh tương ứng)
`\qquad MC=ME` (hai cạnh tương ứng)
$\\$
Xét $∆DMC$ và $∆DME$ có:
`\qquad MC=ME` (c/m trên)
`\qquad \hat{DMC}=\hat{DME}=90°` (do $MD\perp ME$)
`\qquad DM` là cạnh chung
`=>∆DMC=∆DME` (c-g-c)
`=>DC=DE` (hai cạnh tương ứng)
Ta có:
`\qquad AD+BE`
`=AD+AC=DC=DE`
Vậy `AD+BE=DE`
$\\$
`b)` $M$ là trung điểm $AB$ (gt)
`=>MA=1/ 2 AB`
`=>MA^2=(1/ 2 AB)^2=1/ 4 AB^2`
Áp dụng định lý Pytago
$\quad ∆MCD$ vuông tại $M$
`=>MC^2+MD^2=CD^2`
$\quad ∆MAC$ vuông tại $A$
`=>MC^2=MA^2+AC^2`
$\quad ∆MAD$ vuông tại $A$
`=>MD^2=MA^2+AD^2`
$\\$
`=>MC^2+MD^2=2MA^2+AC^2+AD^2`
`=>CD^2=2MA^2+AC.(CD-AD)+(CD-AC).AD`
`=>CD^2=2MA^2+AC.CD-AC.AD+CD.AD-AC.AD`
`=>CD^2=2MA^2+(AC.CD+CD.AD)-2AC.AD`
`=>CD^2=2MA^2+CD.(AC+CD)-2AC.AD`
`=>CD^2=2MA^2+CD.CD-2AC.AD`
`=>CD^2-CD.CD+2AC.AD=2MA^2`
`=>2BE.AD=2. 1/ 4 AB^2` (do $AC=BE$)
`=>BE.AD=1/ 4 AB^2`
Vì $AB$ không đổi nên `BE.DA=1/ 4 AB^2` không đổi
