$1)$Vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}_d=(3;4)$

$\Rightarrow$ Vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}_d=(-4;3)$

Chọn điểm $A(2;1) \in (d)$

$\Rightarrow$ Phương trình tham số:

$ \left\{\begin{array}{l} x=2-4t\\y=1+3t\end{array} \right.\\ 2)(d_1) // (d)\\ \overrightarrow{n}_{d_1}=\overrightarrow{n}_d=(3;4)\\ \overrightarrow{u}_{d_1}=\overrightarrow{u}_d=(-4;3)\\ +)(d_1): \left\{\begin{array}{l} x=1-4t\\y=2+3t\end{array} \right.\\ +)(d_1): 3(x-1)+4(y-2)=0 \\ \Leftrightarrow (d_1):3x+ 4y – 11=0 \\ 3)(d_2) \perp (d)\\ \overrightarrow{u}_{d_1}=\overrightarrow{n}_d=(3;4)\\ \overrightarrow{n}_{d_1}=\overrightarrow{u}_d=(-4;3)\\ +)(d_2): -4(x-1)+3(y-2)=0 \\ \Leftrightarrow (d_1):-4x+ 3y – 2=0 \\ +)(d_2):\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{x-2}{4}$

$4)$Gọi $H(a;b)$ là hình chiếu của $M$ trên $d$

Do $H \in (d)$ nên $3a+ 4b=10 (1)$

Ta có:$\overrightarrow{MH}(a - 1; b - 2).$

Đường thẳng $MH$ vuông góc $(d)$ nên $\overrightarrow{MH}$ cùng phương $\overrightarrow{n}_d(3;4)$

$\Rightarrow \dfrac{a-1}{3}=\dfrac{b-2}{4}$

$\Leftrightarrow 4a-3b=-2(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ : 

$\left\{\begin{array}{l} 3a+ 4b=10 \\4a-3b=-2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a=\dfrac{22}{25} \\b=\dfrac{46}{25}\end{array} \right.$

$\Rightarrow$  Tọa độ điểm $H\left(\dfrac{22}{25}; \dfrac{46}{25}\right).$

$5)H\left(\dfrac{22}{25}; \dfrac{46}{25}\right)$ là hình chiếu của $M$ trên $(d), M'$ đối xứng với $M$ qua $(d)$

$\Rightarrow H$ là trung điểm $MM'$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_{M'}=2x_H-x_M\\y_{M'}=2y_H-y_M\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x_{M'}=\dfrac{19}{25}\\y_{M'}=\dfrac{42}{25}\end{array} \right.$

$\Rightarrow$  Tọa độ điểm $M'\left(\dfrac{19}{25}; \dfrac{42}{25}\right).$

$6)$Gọi $I(c;d)$ là hình chiếu của $N$ trên $ d$

Do $I \in (d)$ nên$3c+ 4d=10 (3)$

Ta có: $\overrightarrow{NI}(c - 2; d+1).$

Đường thẳng $NI$ vuông góc $(d)$ nên $\overrightarrow{NI}$ cùng phương $\overrightarrow{n}_d(3;4)$

$\Rightarrow \dfrac{c - 2}{3}=\dfrac{d+1}{4}$

$\Leftrightarrow 4c-3d=11(4)$

Từ $(3)$ và $(4)$ ta có hệ : 

$\left\{\begin{array}{l} 3c+ 4d=10 \\4c-3d=11\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} c=\dfrac{74}{25} \\d=\dfrac{7}{25}\end{array} \right.$

$\Rightarrow$  Tọa độ điểm $I\left(\dfrac{74}{25}; \dfrac{7}{25}\right).$

$d\left(N;(d)\right)=NI=\sqrt{\left(\dfrac{74}{25}-2\right)^2+\left(\dfrac{7}{25}+1\right)^2}=\dfrac{8}{5}$

$7)\Delta MAB$ đều, $H$ là hình chiếu của $M$ trên $(d)$

$\Rightarrow MH$ là trung tuyến

$\Rightarrow H$ là trung điểm $AB$

$MH=\sqrt{\left(\dfrac{22}{25}-1\right)^2+\left(\dfrac{46}{25}-2\right)^2}=\dfrac{1}{5}\\ MH=\dfrac{AM\sqrt{3}}{2}\\ \Rightarrow AM=\dfrac{2\sqrt{3}}{15}\\ A(e;f) \in (d) \Rightarrow 3e+ 4f=10 \Rightarrow e=\dfrac{10-4f}{3}(*)\\ AM^2=\dfrac{4}{75}=\sqrt{\left(e-1\right)^2+\left(f-2\right)^2}(*')\\ (*)(*') \Rightarrow f=\dfrac{46}{25}\pm\dfrac{\sqrt{3}}{25}\\ \Rightarrow e=\dfrac{66 \mp 4\sqrt{3}}{75}\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} A\left(\dfrac{66-4\sqrt{3}}{75};\dfrac{46}{25}+\dfrac{\sqrt{3}}{25}\right)\Rightarrow B\left(\dfrac{66+4\sqrt{3}}{75};\dfrac{46}{25}-\dfrac{\sqrt{3}}{25}\right)\\ A\left(\dfrac{66+4\sqrt{3}}{75};\dfrac{46}{25}-\dfrac{\sqrt{3}}{25}\right)\Rightarrow B\left(\dfrac{66-4\sqrt{3}}{75};\dfrac{46}{25}+\dfrac{\sqrt{3}}{25}\right)\end{array} \right.$