Do đường thẳng đi qua $I(1, 4)$ nên khi thay $x = 1$ và $y = 4$ vào hso thì phải có đẳng thức. Do đó
$a + b = 4$ $\Leftrightarrow$ $b = 4-a$
Mặt khác, gọi A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng với hai trục Ox và Oy. Khi đó, ta có $A (-\dfrac{b}{a}, 0)$ và $B(0, b)$
Hạ đường cao OH của tam giác vuông OAB. Khi đó, theo hệ thức lượng ta có
$\dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{1}{OA^2} + \dfrac{1}{OB^2}$
với $OH = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}, OA = |-\dfrac{b}{a}|, OB = |b|$. Khi đó, ta có ptrinh
$25a^2 + 25 = 2b^2$
Thay $b=4-a$ vào ta có
$25a^2 + 25 = 2(4-a)^2$
$\Leftrightarrow 23a^2 + 16a - 7 = 0$
$\Leftrightarrow (a+1)(23a -7) = 0$
Vậy $a = -1$ hoặc $a = \dfrac{7}{23}$. Thay vào ta tính đc $b = 5$ hoặc $b = \dfrac{85}{23}$.
Do đó $y = -x + 5$ hoặc $y = \dfrac{7}{23} x + \dfrac{85}{23}$
Vậy $M = 2$ hoặc $M = \dfrac{106}{23}$.
