Đáp án:
a. $M(0; 2)$
b. $m = 2 + \sqrt{3}$
$m = 2 - \sqrt{3}$
c. $m= 2$
Giải thích các bước giải:
a. Giả sử M là điểm cố định của họ đường thẳng $y = (m - 2)x + 2$. Khi đó đường thẳng luôn đi qua điểm M với mọi giá trị của m. Xét $m = 2$, ta có: $y = 2$
Vậy đường thẳng luôn đi qua điểm có tung độ bằng 2.
Xét $m = 1$, ta có:
$2 = (1 - 2).x + 2 \to - x + 2 = 2 \to x = 0$
Vậy đường thẳng đã cho luôn đi qu điểm
$M(0; 2)$
b. Giao điểm của đường thẳng với hai trục toạ độ:
- Khi $x = 0 \to y = 2$. Do đó nó cắt trục tung tại điểm $M(0; 2)$
- Khi $y = 0 \to (m - 2).x + 2 = 0$
$\to (m - 2).x = - 2 \to x = \dfrac{- 2}{m - 2}$
Vậy đường thẳng cắt trục hoành tại điểm
$N(\dfrac{- 2}{m - 2}; 0)$
Gọi H là chân đường vuông góc ket từ O đến đường thẳng đã cho. Ta có:
$\dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{1}{OM^2} + \dfrac{1}{ON^2}$
Hay:
$\dfrac{1}{1^2} = \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{(\dfrac{- 2}{m - 1})^2}$
Suy ra:
$\dfrac{(m - 2)^2}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$
$\to \dfrac{(m - 2)^2 + 1}{4} = 1$
$\to (m - 2)^2 = 3$
*) $m - 2 = \sqrt{3} \to m = 2 + \sqrt{3}$
*) $m - 2 = - \sqrt{3} \to m = 2 - \sqrt{3}$
c. Tương tự như trên, gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng $d$. Ta có:
$\dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{(m - 2)^2 + 1}{4}$
Do đó, $OH^2 = \dfrac{4}{(m - 2)^2 + 1}$
OH lớn nhất khi $OH^2$ lớn nhất, khi đó: $(m - 2)^2 + 1$ nhỏ nhất
Vì: $(m - 2)^2 + 1 \geq 1 \to (m - 2)^2 + 1$ nhỏ nhất khi $m - 2) = 0 \to m = 2$
