Cho đường tròn (C) có bán kính R = 1, tiếp xúc với đường thẳng (d). Tính thể tích của vật thể tròn xoay được sinh ra khi miền hình tròn quay quanh (d) một vòng. A.V = 2 B.V = 2 C.V = 2 D.V =
Đáp án đúng: C Giải chi tiết:Xét đường tròn tâm I(0 ; 1), bán kính bằng 1 trong hệ tọa độ Oxy. Thể tích vật thể cần tìm chính bằng thể tích vật thể do miền hình tròn tâm I(0 ; 1) quay quanh Ox sinh ra. Phương trình đường tròn là: x2 + (y – 1)2 = 1 ⇒ y = 1 ± ; x ∈ [-1 ; 1].
Thể tích vật tròn xoay sinh ra bằng hiệu V1 – V2, với V1, V2 là thể tích hai vật thể tròn xoay đó. Miền (EABCDE) quay quanh Ox. Miền (EAOCDOE) quay quanh Ox. Miền (EABCDE): Miền (EAOCDOE): V1 = (1 + )2 dx V2 = (1 + )2 dx ⇒ V = V1 – V2, = ((1 + )2 dx - (1 + )2 dx) ⇒ V = 4 (1 + ) dx Ta tính tích phân: I = (1 + ) dx Đặt: x = sint , t ∈ [- ; ] ; dx = costdt Đổi cận:
x
-1
1
t
-
Ta được: V = 4.costdt = 22cos2 tdt = 2(1 + cos2t)dt = 2dt + 2cos2t.dt = 2 ⇒ V = 2 (đvtt)