Lời giải:
a) Ta có:
$\widehat{AKE}=\dfrac12\left(sđ\mathop{AE}\limits^{\displaystyle\frown} + sđ\mathop{DM}\limits^{\displaystyle\frown}\right)$
$\widehat{ACE}=\dfrac12\left(sđ\mathop{AE}\limits^{\displaystyle\frown} + sđ\mathop{BM}\limits^{\displaystyle\frown}\right)$
Ta lại có:
$\mathop{DM}\limits^{\displaystyle\frown} = \mathop{BM}\limits^{\displaystyle\frown}=\dfrac12\mathop{BD}\limits^{\displaystyle\frown}\quad (gt)$
$\Rightarrow sđ\mathop{DM}\limits^{\displaystyle\frown} = sđ\mathop{BM}\limits^{\displaystyle\frown}$
Do đó:
$\widehat{AKE}=\widehat{ACE}$
Xét tứ giác $AKCE$ có:
$\widehat{AKE}=\widehat{ACE}\quad (cmt)$
$\widehat{AKE}$ và $\widehat{ACE}$ cùng nhìn cạnh $AE$
Do đó $AKCE$ là tứ giác nội tiếp
b) Ta có:
$AKCE$ là tứ giác nội tiếp (câu a)
$\Rightarrow \widehat{EAC}=\widehat{EKC}$ (cùng nhìn cạnh $CE$)
mà $\widehat{EAC}=\widehat{EAB}=\widehat{EDB}$ (cùng chắn $\mathop{BE}\limits^{\displaystyle\frown}$)
nên $\widehat{EDB}=\widehat{EKC}$
mà $\widehat{EDB}$ và $\widehat{EKC}$ là hai góc đồng vị
$\Rightarrow KC//DB$
Lại có:
$\widehat{ADB}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow DB\perp AD$
Do đó:
$KC\perp AD$
