Gọi tâm đường tròn đường kính BC là O
a, Xét (O), đường kính BC có:
+ E ∈ (O) ⇒ $\widehat{BEC}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ CE ⊥ AB ⇒ HE ⊥ AB ⇒ $\widehat{HEA}=\widehat{HEB}=90°$
+ F ∈ (O) ⇒ $\widehat{BFC}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ BF ⊥ AC ⇒ HF ⊥ AC ⇒ $\widehat{HFA}=\widehat{HFC}=90°$
Xét tứ giác AEHF có: $\widehat{HEA}+\widehat{HFA}=90°+90°=180°$
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH
b, Xét ΔABC có:
BF ⊥ AC (cmt)
CE ⊥ AB (cmt)
BF cắt CE tại H
⇒ H là trực tâm của ΔABC
⇒ AH ⊥ BC
mà AH cắt BC tại N
⇒ AN ⊥ BC ⇒ HN ⊥ BC ⇒ $\widehat{HNB}=\widehat{HNC}=90°$
Xét tứ giác HFCN có: $\widehat{HFC}+\widehat{HNC}=90°+90°=180°$
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác HFCN nội tiếp đường tròn đường kính HC
⇒ $\widehat{HFN}=\widehat{HCN}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{HN}$)
Hay $\widehat{HFN}=\widehat{ECB}$
Xét (O) có: $\widehat{EFB}=\widehat{ECB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{EB}$)
⇒ $\widehat{HFN}=\widehat{EFB}$
⇒ FB là phân giác $\widehat{EFN}$
c, Xét ΔANC vuông tại tại N (AN ⊥ BC) có:
$\widehat{NAC}+\widehat{ACN}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
Hay $\widehat{FAH}+\widehat{ACB}=90°$
Xét ΔBFC vuông tại tại N (BF ⊥ AC) có:
$\widehat{FBC}+\widehat{FCB}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
Hay $\widehat{FBC}+\widehat{ACB}=90°$
Mà $\widehat{FAH}+\widehat{ACB}=90°$ (cmt)
⇒ $\widehat{FAH}=\widehat{FBC}$
Xét ΔFAH vuông tại F ($\widehat{HFA}=90°$) và ΔFBC vuông tại F ($\widehat{BFC}=90°$) có:
AH = BC (gt)
$\widehat{FAH}=\widehat{FBC}$ (cmt)
⇒ ΔFAH = ΔFBC (cạnh huyền - góc nhọn)
⇒ FA = FB (hai cạnh tương ứng)
Xét ΔFAB vuông tại F (BF ⊥ AC) có: FA = FB (cmt)
⇒ ΔFAB vuông tại F
⇒ $\widehat{FAB}=45°$ Hay $\widehat{BAC}=45°$
