a) Xét $\Delta SMA$ và $\Delta SBC$ có:
$\widehat S$ chung
$\widehat{SAM}=\widehat{SCB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB của (O))
$\Rightarrow\Delta SMA\sim\Delta SBC$ (g.g)
b) Do $CD\bot AB$ (giả thiết) $\Rightarrow AB$ là đường trung trực của $CD$ (liên hệ giữa đường kính và dây cung)
$\Rightarrow AC=AD$ (tích chất đường trung trực)
$\Rightarrow$ cung $AC=$ cung $AD$ (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)
$\Rightarrow\widehat{AMD}=\widehat{ABC}$ (góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)
$\Rightarrow\widehat{KBH}=\widehat{KMH}$ mà hai góc này cùng nhìn cạnh HK
$\Rightarrow BMHK$ nội tiếp
c) Kẻ đường kính $MN$
Xét $\Delta AON$ và $\Delta BOM$ có:
$OA=OB=R$
$\widehat{AON}=\widehat{BOM}$ (đối đỉnh)
$ON=OM=R$
$\Rightarrow\Delta AON=\Delta BOM$ (c.g.c)
$\Rightarrow AN=BM$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)
cung $AN=$ cung $BM$ (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)
Ta có:
$\widehat{ASC}=\dfrac{sđ\stackrel\frown{AC}-sđ\stackrel\frown{BM}}2$ (tích chất góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn) (1)
$\widehat{NMD}=\dfrac12\stackrel\frown{DN}$ (tính chất góc nội tiếp)
$\widehat{NMD}=\dfrac{sđ\stackrel\frown{AD}-sđ\stackrel\frown{AN}}2$ (2)
Mà $\stackrel\frown{AC}=\stackrel\frown{AD}$ (3)
$\stackrel\frown{AN}=\stackrel\frown{MB}$ (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra $\widehat{ASC}=\widehat{NMD}$ hay $\widehat{OMK}=\widehat{OSM}$
Xét $\Delta OKM$ và $\Delta OMS$ có:
$\widehat{MOS}$ chung
$\widehat{OMK}=\widehat{OSM}$ (cmt)
$\Rightarrow\Delta OKM\sim\Delta OMS$ (g.g)
$\Rightarrow\dfrac{OK}{OM}=\dfrac{OM}{OS}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)
$\Rightarrow OK.OS=OM^2=R^2$.
