1) Ta có MC, MD là tiếp tuyến của (O) nên $\widehat{MCO}=\widehat{MDO}=90^o$
Tứ giác MCOD có $\widehat{MCO}+\widehat{MDO}=180^o$ mà chúng ở vị trí đối nhau
Suy ra tứ giác MCOD nội tiếp đường tròn đường kính (OM) (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
2) Ta có K là trung điểm của EF $\Rightarrow OK⊥EF\Rightarrow \widehat{OKM}=90^o$
$\Rightarrow K$ thuộc đường tròn đường kính (MO)
`=>` D, M, C, K, O cùng thuộc đường tròn đường kính (MO)
$\widehat{ DKM}=\widehat{ DOM}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MD của (OM))
$\widehat{ CKM }=\widehat{COM}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MC của (OM))
$\widehat{DOM} =\widehat{ COM}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Từ 3 điều trên suy ra $\widehat{ DKM}=\widehat{ CKM}$
`=> KM` là phân giác của $\widehat{CKD}$
3) Ta có:
$S_{\Delta MRT} = 2S_{\Delta MOR} = OC . MR = R . ( MC + CR ) \geq 2R . \sqrt{CM . CP}$ (bất đẳng thức côsi)
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta MOR\bot O$ ta có:
$CM.CR = OC^2 = R^2$ không đổi
$\Rightarrow S_{\Delta MRT}\geq2R^{2}$
Dấu "=" xảy ra $⇔ CM = CR = R\sqrt{2}$
Khi đó M là giao điểm của (d) với đường tròn tâm O bán kính $R\sqrt{2}$
Vậy M là giao điểm của (d) với đường tròn tâm O bán kính $R\sqrt{2}$ thì $S_{\Delta MRT min}=2R^2$