Đáp án:
Xét tứ giác APOQAPOQ có:
APOˆ=900APO^=900 (Do AP là tiếp tuyến của (O) ở P)
AQOˆ=900AQO^=900 (Do AQ là tiếp tuyến của (O) ở Q)
⇒APOˆ+AQOˆ=1800⇒APO^+AQO^=1800, mà hai góc này là 2 góc đối nên tứ giác APOQAPOQ là tứ giác nội tiếp
2.
Xét ΔAKNΔAKN và ΔPAKΔPAK có AKPˆAKP^ là góc chung
APNˆ=AMPˆAPN^=AMP^ (Góc nội tiếp cùng chắn cung NP)
mà NAKˆ=AMPˆNAK^=AMP^ (so le trong của PM//AQPM//AQ)
ΔAKNΔAKN ~ ΔPKAΔPKA (góc góc)
⇒AKPK=NKAK⇒AK2=NK.KP⇒AKPK=NKAK⇒AK2=NK.KP (điều phải chứng minh).
3.
Kẻ đường kính QS của đường tròn (O)
Ta có AQ⊥QSAQ⊥QS (AQ là tiếp tuyến của (O) ở Q)
Mà PM//AQPM//AQ (giả thiết) nên PM⊥QSPM⊥QS
Đường kính QS⊥PMQS⊥PM nên QSQS đi qua điểm chính giữa của cung PM nhỏ
sdPSˆPS^ = sdSMˆSM^ ⇒PNSˆ=SNMˆ⇒PNS^=SNM^ (hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)
Hay NSNS là tia phân giác của góc PNMPNM.
4. Chứng minh được ΔAQOΔAQO vuông ở QQ, có QG⊥AOQG⊥AO (theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
OQ2=OI.OA⇒OI=OQ2OA=R23R=13ROQ2=OI.OA⇒OI=OQ2OA=R23R=13R
⇒AI=OA−OI=3R−13R=83R⇒AI=OA−OI=3R−13R=83R
Do ΔKNQΔKNQ ~ ΔKQPΔKQP (góc góc)
⇒KQ2=KN.KP⇒KQ2=KN.KP
mà AK2=NK.KPAK2=NK.KP nên AK=KQAK=KQ
Vậy ΔAPQΔAPQ có các trung tuyến AIAI và PKPK cắt nhau ở GG nên GG là trọng tâm
⇒AG=23AI=23.83R=169R
Giải thích các bước giải:
