a.Ta có AK⊥CK,AH⊥CH
→ˆAKC+ˆAHC=90o+90o=180o
→A,H,C,K thuộc đường tròn đường kính AC
b. Vì ADAD là đường kính của (O)
→AB⊥BD
Mà BH⊥AD→AB2=AH.AD
c. Vì BC⊥AD→B,C đối xứng qua AD
→ˆABC=ˆACB
Mà AMCB nội tiếp (O)→ˆKMC=ˆABC(O)
→ˆNMK=ˆAMB=ˆACB=ˆABC=ˆKMC
Xét 2 tam giác vuông ΔMKN và ΔMKC có:
KM chung
ˆNMK=ˆKMC (cmt)
⇒ΔMKN=ΔMKC (cạnh góc vuông-góc nhọn)
⇒KN=KC⇒AK vừa là đường cao vừa là trung tuyến ΔANC
⇒ΔANC cân đỉnh A.
d. Vì ΔACN cân tại A →AN=AC
Mà B,C đối xứng qua AD
→AC=AB→AN=AB→ΔABN cân đỉnh A
Lấy E là trung điểm BN→AE⊥BN
→E là trung điểm BN
→SABN=$\frac{1}{2}$ AE.BN=$\frac{1}{2}$ AE.2BE=AE.BE≤$\frac{AE2+BE2}{2}$ =$\frac{AB2}{2}$
Dấu = xảy ra khi AE=BE→ˆABE=45o→ˆABM=45o