c)
Xét $\Delta SAC$ và $\Delta SDA$, ta có:
$\widehat{ASD}$ là góc chung
$\widehat{SAC}=\widehat{SDA}$
$\to \Delta SAC\backsim\Delta SDA\,\,\,\left( g.g \right)$
$\to \dfrac{SA}{SD}=\dfrac{SC}{SA}$
$\to S{{A}^{2}}=SC.SD$
Ta có: $\begin{cases}SA=SB\\OA=OB\end{cases}$
$\to SO$ là đường trung trực của $AB$
$\to SO\bot AB$ tại $M$
$\Delta SAO$ vuông tại $A$, có $AM$ là đường cao
$\to S{{A}^{2}}=SM.SO$ ( hệ thức lượng )
$\to SC.SD=SM.SO$
$\to \dfrac{SC}{SO}=\dfrac{SM}{SD}$
Xét $\Delta SCM$ và $\Delta SOD$, ta có:
$\dfrac{SC}{SO}=\dfrac{SM}{SD}\,\,\,\left( cmt \right)$
$\widehat{OSD}$ là góc chung
$\to \Delta SCM\backsim\Delta SOD\,\,\,\left( c.g.c \right)$
$\to \widehat{SMC}=\widehat{CDO}$ ( hai góc tương ứng )
$\to CMOD$ là tứ giác nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong )
$\to \widehat{DMO}=\widehat{DCO}$ ( cùng chắn $\overset\frown{DO}$ )
Mà $\widehat{DCO}=\widehat{CDO}$ ( $\Delta OCD$ cân tại $O$ )
Nên $\widehat{DMO}=\widehat{CDO}$
Ta có: $\begin{cases}\widehat{SMC}=\widehat{CDO}\,\,\,\left(cmt\right)\\\widehat{DMO}=\widehat{CDO}\,\,\,\left(cmt\right)\end{cases}$
$\to \widehat{SMC}=\widehat{DMO}$
Mà: $\begin{cases}\widehat{SMC}+\widehat{CMN}=90{}^\circ\\\widehat{DMO}+\widehat{DMN}=90{}^\circ\end{cases}$
$\to \widehat{CMN}=\widehat{DMN}$
$\to MN$ là tia phân giác $\widehat{CMD}$
$\Delta CMD$ có $MN$ là tia phân giác $\widehat{CMD}$
$\to \dfrac{MC}{MD}=\dfrac{NC}{ND}$
$\to MC.ND=NC.MD$
