Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a)Xét $ 2 ΔKAB; ΔKBC$ có:
$∠KBA = ∠KCB$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây = góc nội tiếp chắn cung đó)
$⇒ ΔKAB ≈ ΔKBC (g.g)$ có chung góc $K ⇒ \frac{AB}{BC} = \frac{KA}{KB} (1)$
Tương tự Xét $ 2 ΔKAD; ΔKDC$ ta cũng có $: \frac{AD}{CD} =\frac{KA}{KD} (2)$
Vì $KB = KD$ nên từ $(1);(2) ⇒ \frac{AB}{BC} = \frac{AD}{CD}$
$⇔ AB.CD = AD.BC (đpcm)$
b) Gọi $J = KO∩BD ⇒ J $ là trung điểm $BD$
Theo câu $a) ΔKAB ≈ ΔKBC (g.g)$
$⇒ \frac{KA}{KB} = \frac{KB}{KC} ⇔ KA.KC = KB² (3)$
$ΔKBO$ vuông tại $B$ có đường cao $BJ ⇒ KJ.KO = KB² (4)$
Từ $(3);(4) ⇒ KA.KC = KJ.KO ⇔ \frac{KA}{KJ} = \frac{KO}{KC}$
$⇔ ΔKAJ ≈ ΔKOC $( vì có chung góc $K)$
$⇒ ∠KIA = ∠KCO ⇒ AIOC$ nội tiếp
$⇒ ∠KIA = ∠KCO = ∠ACO = ∠CAO = ∠CIO$
Mà $JB⊥KO ⇒ ∠AJB = ∠CJB (5)$
Mặt khác $CN//BD ⇒BCND$ là hình thang cân, mà J là trung điểm đáy lớn $BD ⇒ ΔBJC = ΔDJN ⇒∠CJB = ∠NJD (6)$
Từ $(5); (6) ⇒ ∠AJB = ∠NJD ⇒ A; J; D$ thẳng hàng $⇒ J$ trùng $I$
Vậy $I = AN∩BD$ là trung điểm $BD (đpcm)$
